Funktion konstruieren

29.01.2015, 13:09

Cyvasse

Funktion konstruieren

Hey Mathematics,

folgende Aufgabe:

Geben Sie eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : [0, 1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ an, welche im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ kein lokales Extremum hat und beweisen Sie Ihre Behauptung.

Als ich die Aufgabe gelesen hat dachte ich erst mal "Ha, is ja easy!" Aber wie es so bei Mathe ist: Kommt des dir einfach vor, machst du es falsch smile

Ich stehe jetzt vor folgendem Problem: 0 ist der Rand des Definitionsbereichs. Entweder fällt der Graph für die nächsten Werte >0 und damit ist 0 eine lokale Maximumsstelle oder der Graph steigt für die nächsten Werte >0 und damit ist 0 eine lokale Minimumsstelle. Gebe ich sowas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=2 \end{eqnarray*}$ an, ist jeder x-Wert eine Extremstelle. Wie muss ich mir so einen Graphen also vorstellen? verwirrt

Ich hoffe, ihr habt ne Idee für mich!

29.01.2015, 13:25

klarsoweit

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RE: Funktion konstruieren
Eine Idee wäre, eine Funktion zu nehmen, die in jeder Umgebung um x_0 "beliebig" hin- und herschwingt. Ich denke, da läßt sich was basteln.

29.01.2015, 13:46

Cyvasse

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Danke für deine Antwort!

Meinst du sowas wie eine extrem "schnelle" Sinus-Funktion? Mir ist nicht ganz klar was du mit "beliebig hin- und herschwingen" meinst. Ich meine theoretisch hat meine Funktion doch fixe Werte und die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0+\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist definitiv größer oder kleiner als der Wert für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , was doch hinreichend für eine Extremstelle ist, wenn man beachtet, dass $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Rand des Def-Bereiches ist. Oder? verwirrt

Edit

Oder reicht es, wenn die erste Ableitung der gesuchten Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} f(0) \ne 0 \end{eqnarray*}$ ist?

29.01.2015, 13:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cyvasse
Meinst du sowas wie eine extrem "schnelle" Sinus-Funktion?

Sowas in der Art.

Zitat:

Original von Cyvasse
Ich meine theoretisch hat meine Funktion doch fixe Werte und die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0+\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist definitiv größer oder kleiner als der Wert für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , was doch hinreichend für eine Extremstelle ist, wenn man beachtet, dass $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Rand des Def-Bereiches ist. Oder? verwirrt

Wenn du f(x)=2 meinst, dann ist f(0)=2 und für alle x mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist f(x) >= f(0) = 2 . Mithin ist bei x_0=0 ein lokales Minimum. Aber gesucht ist ja eine Funktion, die dort kein lokales Extremum hat.

30.01.2015, 14:54

Cyvasse

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Hey, ich wollte dir nur noch mitteilen, dass ich gestern Nacht irgendwann aufgegeben hab und trotzdem danke sagen. Leider war der Zettel heute Mittag fällig.

Ich bin bis jetzt einfach nicht dahinter gestiegen, wie das funktionieren soll, aber ich seh es dann ja im Tutorium nächste Woche. Augenzwinkern

Wenn du mir genauer verraten möchtest, wie deine Idee ausgesehen hätte, schau ich mir die aber auch gerne noch an!

Wink

30.01.2015, 15:06

klarsoweit

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Ich hatte sowas im Kopf:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}sin(\frac 1 x) & \text{für } x > 0 \\ 0 & \text{für } x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

30.01.2015, 23:24

Cyvasse

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Lustig, bevor ich das hier gelesen habe, hatte ich einen unserer Tutoren mal gefragt, wie sowas aussehen soll und er hat mir exakt diese Funktionsvorschrift gegeben Augenzwinkern

Also ich verstehe jetzt, wo ich mir den Graphen mal skizziert hab, die Idee dahinter (was du schon meintest, mit dem beliebig oft hin- und herschwingen), aber es muss doch möglich sein, ein epsilon so klein zu wählen, sodass $\begin{eqnarray*} x_0+\varepsilon \end{eqnarray*}$ definitiv größer oder kleiner als $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist und kein weiterer Extrempunkt dazwischen liegt? verwirrt

Naja, offensichtlich nicht. Ist für mich nur total kontraintuitiv.

Wie würde man das denn formal zeigen? Meine Idee wäre jetzt erste Ableitung bilden und versuchen, zu zeigen, dass zwischen 0 und 0+epsilon beliebig viele Nullstellen liegen.

Ist eigentlich total überflüssig, das noch zu klären, weil ich die Aufgabe eh nicht mehr bearbeiten kann. Finde es nur interessant.

02.02.2015, 08:50

klarsoweit

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Der Beweis ist doch relativ simpel. Angenommen, bei x_0 = 0 wäre ein lokales Maximum. Wähle nun ein beliebiges epsilon > 0. Zu diesem epsilon gibt eine natürliche Zahl n, so daß $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ist. Setze nun $\begin{eqnarray*} x_{\epsilon} := \frac{1}{\frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi} \end{eqnarray*}$ .

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} x_{\epsilon} < \epsilon \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} f(x_{\epsilon}) = 1 \end{eqnarray*}$ , was im Widerspruch zur Annahme steht. smile

Analog kannst du das für ein lokales Minimum zeigen.

05.02.2015, 15:28

Cyvasse

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Cool, danke. Man muss nur wissen wie. Augenzwinkern

Sieht jetzt sehr simpel aus, aber um die Idee genau so simpel zu bekommen, braucht es wohl mehr Erfahrung und Verständnis.

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