Lösungswege bei Polynomen komplexer Zahlen

29.01.2015, 17:27

eintopf

Lösungswege bei Polynomen komplexer Zahlen

Moin moin,

ich soll hier ein paar komplexe Gleichungen lösen. Es geht dabei um Polynome komplexer Gleichungen.
Nun habe ich hier zwei sehr ähnliche Aufgaben, bei denen aber zweit komplett verschiedene Lösungswege angegeben sind.
Erste Aufgabe:
[attach]37032[/attach]
Zweite Aufgabe:
[attach]37033[/attach]

Die erste Aufgabe scheint für mich verständlich. Ich erkenne aus der Lösung, dass es wegen der 5 Potenz und den zwei Fällen insgesamt 10 Lösungen gibt ( die anderen 5 Lösungen habe ich aus platzgründen weggelassen, ergeben sich aber rechnerisch wie in Fall 1 nur mit $\begin{eqnarray*} (3-i)^2 \end{eqnarray*}$

Ich bin mit dem selben Lösungsschema an die zweite Aufgabe gegangen, muss aber in der Lösung feststellen, dass es nur 6 Lösungen gibt obwohl wir eine 6.Potenz haben und auch in zwei Fälle unterscheiden.
Ich hätte mit $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ folgenderweise weitergerechnet:
$\begin{eqnarray*} z^{6}=y_{1}^{2}=(-1+i)^2=1-2i-1=-2i=<2;270°> \end{eqnarray*}$
daraus wäre dann folgende Lösungen für den Fall $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ rausgekommen:
$\begin{eqnarray*} 270°/6=45° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 360°/6=60° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1}=<\sqrt[6]{2};45°> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2}=<\sqrt[6]{2};105°> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{3}=<\sqrt[6]{2};165°> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{4}=<\sqrt[6]{2};225°> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{5}=<\sqrt[6]{2};285°> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{6}=<\sqrt[6]{2};345°> \end{eqnarray*}$

Also Unterschiede finden sich in der Anzahl der Lösungen und irgendwie wurde noch and er Gradzahlt gedraht. Ich weiß leider nicht, warum es zwei Wege gibt und wann welche benutzt wird.
Wäre für Hilfe sehr dankbar Gott

Grüße

30.01.2015, 00:03

mYthos

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Die zweite Gleichung hat nur 6 Lösungen, nämlich je 3 für die beiden Fälle.
Das ist auch klar, denn diese Gleichung ist quadratisch in $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ . Die höchste Potenz ist 6 und die anderen Exponenten sind ganzzahlig!

Die erste Gleichung ist in Wirklichkeit vom Grad 10. Die höchste Potenz ist zwar auf den ersten Blick nur vom Grad 5, aber daneben existiert noch der gebrochene Exponent 5/2.
Dieser ist die Ursache, dass in der Gleichung im Verlauf noch quadriert werden muss, woraus sich dann der endgültige Grad 10 ergibt.
Die Gleichung ist sozusagen quadratisch in $\begin{eqnarray*} z^{\frac 5 2} \end{eqnarray*}$

Was meinst du damit, dass an der Gradzahl "gedreht" wurde?
Die erste komplexe Lösung der quadratischen Gleichung besitzt den Winkel 135°, also muss man ihn wegen der folgenden 3. Potenz durch 3 teilen und jeweils Vielfache von 120° addieren.
Die zweite komplexe Lösung der quadratischen Gleichung besitzt den Winkel 225°, also muss man mit dem Winkel 75° beginnen und wiederum Vielfache von 120° addieren.

mY+

30.01.2015, 01:40

eintopf

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Ok, kann mich grob mit der neune Theorie anfreunden. Nur frag ich mich, woher die $\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{2} \end{eqnarray*}$ kommt? Dafür finde ich noch keinen logischen Weg.

Mit gedreht meine ich, dass die Wert mit meinen leider nicht übereinstimmt unglücklich

30.01.2015, 08:50

klarsoweit

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Im wesentlichen geht es um die Wurzeln aus einer komplexen Zahl. Siehe dazu: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln

31.01.2015, 01:10

mYthos

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Zitat:

Original von eintopf
...
Nur frag ich mich, woher die $\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{2} \end{eqnarray*}$ kommt?
...

Der Betrag beim Beginn der beiden Fälle ist $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ , daraus ist dann jeweils die 3. Wurzel zu ziehen, macht $\begin{eqnarray*} \sqrt[6] 2 \end{eqnarray*}$ !

Zitat:

Original von eintopf
...
Mit gedreht meine ich, dass die Wert mit meinen leider nicht übereinstimmt unglücklich

Ich hatte dir allerdings erklärt, wie die Winkel zustande kommen. Lies das bitte genau durch bzw. siehe den angegebenen Link ..

mY+

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