Inhomog. LGS, Zusammenhang mit EW/EV |
| 29.01.2015, 17:49 | GOLFMKI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Inhomog. LGS, Zusammenhang mit EW/EV folgende Überlegung quält mich und ich weiß nicht inwieweit diese richtig oder falsch ist: Ich habe eine 3x3 Matrix mit vollem Rang. Da ich weiß, dass sie einen vollen Rang besitzt, ist kein Defekt vorhanden. Also als homogenes LGS nur die triviale Lösung des Nullvektors. Nun kommt der interessante Teil: Wenn ich dann ein inhomogenes LGS ( mit meinem "b" als rechte Seite) betrachte erhalte ich eine eindeutige Lösung. Nenn ich sie hier einfach "x". Der allgemeine Satz der Eigenvektoren lautet: Ax = sx ( das "s" ist der Eigenwert ) Nun habe ich eine eindeutige Lösungsmenge. Also stell ich alles mal brav um: x = sb , so weiß ich, dass mein "x" Eigenvektor zu dem Eigenwert "s" ist, da dies genau die Lösung b ergibt. Sind alle Überlegungen korrekt? Weil dann könnte man sich das charakteristische Polynom "ersparen" und so die EW lösen wie oben beschreiben falls man z.B. 3 verschiedene b's (alle ungleich 0) an der rechten Seite anhängt, erhält man sofort 3 Eigenvektoren. ( Den letzten sogar durch das Kreuzprodukt, der zwei übrigen x's -> spart Zeit) Ich habe schon in zahllosen Büchern versucht was zu finden und Google hilft auch nicht. Kann man das so machen? Gibt es Einschränkungen (rang, nur nxn Matrizen, symmetrische Matrizen etc.?) Freue mich über Antworten! 
Gruß |
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| 29.01.2015, 19:04 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: inhomog. LGS Zusammenhang mit EW / EV Würdest du dein Verfahren "wie oben beschreiben" mal bitte anhand der Matrix vorführen? |
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| 29.01.2015, 23:03 | GOLFMKI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: inhomog. LGS Zusammenhang mit EW / EV Bevor ich mich an Deine Matrix versuche, schicke ich dir einfach die Bilder der Rechnung von einer Aufgabe inklusive der Matrix. Und dich dachte man kann das allgemein aufschreiben. Eventuell erklärst du ganz kurz und knapp, wie die auf den Rechenschritt gekommen sind. Vielleicht lag ich auch komplett falsch mit meinen Überlegungen... 
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| 29.01.2015, 23:12 | GOLFMKI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: inhomog. LGS Zusammenhang mit EW / EV
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| 29.01.2015, 23:26 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: inhomog. LGS Zusammenhang mit EW / EV Ich weiß nicht, was du mit "den Rechenschritt" meinst und ich werde ganz sicher nicht anhand fragmentarischer Bilder rätsel lösen 
Aus meiner Sicht bist du schlicht auf dem holzweg. Bei der Aufgabe sind die Eigenvektoren einfach schon angegeben. |
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| 30.01.2015, 11:29 | GOLFMKI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: inhomog. LGS Zusammenhang mit EW / EV Naja so fragmentarisch sind die Bilder nun auch nicht. Das einzige was fehlt ist sind die einzelnen Umformschritte vom Gauß. Dann erklär mir einfach mal, wieso ich die Eigenvektoren rausbekomme obwohl ich nicht meine Eigenwerte in die Matrix (A-sI) eingesetzt habe. Warum sind die Eigenvektoren meine Lösungsmenge die aus den b's resultiert? |
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| 30.01.2015, 11:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Inhomog. LGS, Zusammenhang mit EW/EV
Nun ja, wenn die Matrix vollen Rang hat, ist sie invertierbar und aus Ax=b folgt . Als phänomenal interessant würde ich das jetzt nicht ansehen. 
Wenn nun Ax = b gilt und sich herausstellt, daß b = s*x ist mit einem geeigneten s, so ist offensichtlich s ein Eigenwert und x ein dazugehöriger Eigenvektor. |
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| 30.01.2015, 12:03 | GOLFMKI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Perfekt ! Danke für deine Hilfe ! Also könnte ich, falls ich meine Inverse ausgerechnet habe, immer auf diese Art und Weise mein EW bestimmen?
Hier habe ich nun sogar einen Link gefunden, der das beschreibt was ich meine. Anscheined funktioniert, meine Überlegung tatsächlich immer? http://fptchlx02.tu-graz.ac.at/cgi-bin/a...=0000&file=0274 |
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| 30.01.2015, 12:49 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das sehe ich nicht so.
Ich kann nicht erkennen, was von den in dem Link gemachten Aussagen deine Überlegung unterstützen würde. Ich halte da auch z. B. die Aussage "für eine Matrix der Dimension n gibt es n verschiedene Eigenvektoren" für fragwürdig. Z. B. hat die Matrix nur einen Eigenvektor (abgesehen von Vielfachen). |
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| 30.01.2015, 20:15 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könntest du mir bitte erklären, wie du eine invertierbare Matrix und eindeutige Lösbarkeit einer Gleichung mit dem Umstand vereinbarst, dass es immer einen Eigenraum gibt, von einer eindeutigen Lösung also gar nicht die Rede sein kann? Wie soll man denn deine Methode auf die von mir genannte Matrix anwenden? |
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