Polynom p zweiten Grades mit Komplexen Zahlen

29.01.2015, 22:27	Deepred	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom p zweiten Grades mit Komplexen Zahlen Guten Abend, lerne gerade für Mathematik und komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Die Aufgabe lautet: "Welches Polynom p zweiten Grades mit reelen Koeffizienten hat die Nullstellen $\begin{eqnarray} z_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{z}_1 \end{eqnarray}$ (Z1 Strich ist die konjugierte Form. Wusste nicht, wie man einen Strich über das z bekommt ^^)?" Gegeben ist: $\begin{eqnarray} z_{1} = 3 + 2i \end{eqnarray}$ Habe z1 konjugiert: $\begin{eqnarray} \vec{z}_1 = 3 - 2i \end{eqnarray}$ Die Lösung wäre $\begin{eqnarray} p(z) = z^{2} - 6z + 13 \end{eqnarray}$ Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich zur Lösung komme. Meine Idee war aus den beiden z1 zwei Punkte zu erstellen und in eine Funktion $\begin{eqnarray} y = ax^{2} + bx \end{eqnarray}$ zu setzen um anschließend diese gleichzusetzen. Ich kann mir aber kaum vorstellen, das dies der Lösungsweg sein soll. Habe in Mathebüchern nachgeschaut, aber anscheinend ist meine Frage zu simpel, sodass es nicht mal erwähnt wird. Kann mir jemand Stichwortartig helfen?
29.01.2015, 22:55	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} z_1, ..., z_n \end{eqnarray}$ komplexe Zahlen sind, dann ist $\begin{eqnarray} a(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n) \end{eqnarray}$ ein Polynom in $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , das genau diese Zahlen als Nullstellen hat (mit einer beliebigen Konstanten $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ ). $\begin{eqnarray} \overline{z} \end{eqnarray}$ bekommst du mit dem Code \overline{z} .
29.01.2015, 23:24	Deepred	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal bedanke ich mich für deine Antwort. Also heißt das: $\begin{eqnarray} p(z) = (z-3+2)(z-3-2) = z^{2} - 6z + 5 \end{eqnarray}$ Stimmt soweit, aber die $\begin{eqnarray} +5 \end{eqnarray}$ stimmen nicht. Wie komme ich auf die $\begin{eqnarray} 13 \end{eqnarray}$ ? Nur so, aber das hat ja nicht viel damit zu tun... $\begin{eqnarray} \| z_{1} \| = \sqrt{3^{2} + 2^{2} } = \sqrt{13} ??? \end{eqnarray*}$
29.01.2015, 23:27	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast in beiden Klammern das i vergessen. Und ja, $\begin{eqnarray} \|z_1\|=\sqrt{13} \end{eqnarray}$ .
29.01.2015, 23:53	Deepred	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ich es und nun kommt auch das richtige Ergebnis raus. $\begin{eqnarray} p(z) = (z - 3 + 2i) ( z - 3 - 2i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(z) = z^{2} - 3z - 2iz - 3z + 9 + 6i + 2iz - 6i - 4i^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(z) = z^{2} - 6z + 9 - 4i^{2} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} i^{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ einsetzen Lösung: $\begin{eqnarray} p(z) = z^{2} - 6z + 13 \end{eqnarray*}$ Vielen Dank 10001000Nick1
30.01.2015, 00:04	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.
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