Determinante einer nxn-Matrix mit x in Hauptdiagonalen |
| 29.01.2015, 23:28 | sx9 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Determinante einer nxn-Matrix mit x in Hauptdiagonalen Hi! Folgende Sache: Ich habe eine nxn Matrix gegeben (Bild im Anhang), mit n <= 2 und x, a0, a1, ... ,a_(n-1) Elemente aus einem Körper K. Es sind hauptsächlich x in der Hauptdiagonalen bis auf die letzte Zeile (x+a_(n-1)), nur in der Diagonalen darunter stehen -1 wodurch ich keine saubere Dreiecksmatrix bekomme, damit ich die Determinante einfach aus den Produkten der Diagonale berechnen kann (Gaußsches Eliminationsverfahren). Wie kann ich die Matrix passend umformen? Oder brauche ich ein anderes Verfahren (Laplacescher Entwicklungssatz)? Meine Ideen: Ich habe diese Matrix gegeben: x 0 0 ... 0 0 a0 -1 x 0 ... 0 0 a1 0 -1 x ... 0 0 a2 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... -1 x a_(n-2) 0 0 0 ... 0 -1 x+a_(n-1) mit n <= 2 und x, a0, a1, ... ,a_(n-1) Elemente aus einem Körper K. Nun soll ich die Determinante der Matrix berechnen. Das wäre mit Gauß eigentlich kein Problem, wenn ich ne ordentliche Dreiecksmatrix hätte. Ich könnte als Determinante einfach die Produkte der Hauptdiagonalen nehmen und hätte det(A) = x^(n-1)* x+a_(n-1). Nur leider wird mir dieses Konzept durch diese (-1)-Diagonale zerschossen. Ich hab schon gedacht ich könnte die i+1te Zeile nehmen mit x multiplizieren und auf die i-te Zeile draufaddieren, so würden sich die x mit x + (-x) auslöschen und ich hätte keine -1 mehr. Das blöde ist nur, dass sich dadurch alles verschiebt und ich dann nur noch Nullen in der Hauptdiagonalen hätte (Ausnahme: letzte Zeile), und somit das Produkt und auch die Determinante = 0 wären. Jetzt ist meine Frage auch ob das so überhaupt geht, oder ob ich an das Problem ganz anders rangehen muss (Laplace-Entwicklung...) Würde mich über eine Antwort freuen! PS: Ist mein erster Beitrag hier im Forum - Sorry für die Formatierung :P |
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| 29.01.2015, 23:39 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Entwickle das mal mit Laplace nach der ersten Zeile. Fällt dann etwas auf? |
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| 29.01.2015, 23:42 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Berechne mal explizit die Determinante für ; dann solltest du ein Muster erkennen, das du mit vollständiger Induktion beweisen kannst. Benutze dazu den Laplace-Entwicklungssatz in der ersten Zeile. Edit: Bin wieder weg. 
Edit2: OK, bin wieder da. 
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| 29.01.2015, 23:44 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kannst gerne weiter machen nick, ich will eh gleich ins Bett
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| 29.01.2015, 23:55 | sx9 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja ich habs mit Laplace nach der ersten Spalte schon versucht, da hab ich nur rausbekommen, dass ich viele Unterdeterminanten mit dem Faktor 0 hab und sich bei einer die Matrix um eine Zeile und Spalte verringert hat mit Faktor x... |
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| 30.01.2015, 00:03 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Helferlein und ich haben ja auch nicht ohne Grund den Tipp gegeben, nach der ersten Zeile zu entwickeln... |
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| 30.01.2015, 00:31 | sx9 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das hatte ich vorher mit Laplace versucht, keine Ahnung ob das nach Zeile oder nach Spalte jetzt ist... Und noch was wie ich's mit Gauß versucht hab... |
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| 30.01.2015, 00:47 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dein Ansatz mit Gauß funktioniert nicht. Wenn du eine Zeile mit x multiplizerst, ändert sich auch die Determinante um den Faktor x. Also müsste man das ganze wieder mit multiplizieren. Außerdem hast du die Zeilen nicht richtig addiert. Wenn du z.B. die letzte Zeile mit x multiplizierst und dann die vorletzte Zeile dazuaddierst, dann ist zwar der vorletzte Eintrag der letzten Zeile 0, dafür steht aber direkt links davon -1. So ist das in allen Zeilen, womit du auch keine Dreiecksmatrix erhältst. Zu deinem Ansatz mit Laplace: Wo kommt bei der Matrix, die du mit x multiplizierst, die oberste Zeile her? Die gehört da nicht hin. Außerdem fehlt noch ein Summand: In der ersten Zeile der Ausgangsmatrix steht ganz rechts noch der Eintrag , den hast du bis jetzt noch nicht berücksichtigt. Hast du eigentlich schon mal für die Determinante berechnet? PS: Ich bin jetzt weg, gucke morgen aber nochmal in den Thread.
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| 05.02.2015, 21:31 | sx9 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke nochmal, ich hab's mit ner Kombination aus Laplace und Vollständiger Induktion hinbekommen! |
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