Ebene bestimmen, die eine Gerade enthält und parallel zu einer zweiten ist

30.01.2015, 12:30

Kyobo

Ebene bestimmen, die eine Gerade enthält und parallel zu einer zweiten ist

Meine Frage:
Vor folgener Aufgabe sitze ich:
Bestimmen Sie die Ebene, die die Gerade $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ enthält und parallel zur Geraden $\begin{eqnarray*} x - 1 = y - 4 = - z \end{eqnarray*}$ verläuft.
Geben Sie die Hessesche Normalform an und berechnen Sie den Abstand des Punktes (0,4,1) von dieser Ebene.

Meine Ideen:
Meine Standartrechnungen (z.B. Linearkombination) funktionieren logischerweise nicht, weil die Geraden nicht parralel sein sollen, sondern die Ebene und die Gerade.
Ich muss nun ja noch einen Vektor "erstellen", welcher mit dem ersten eine Ebene aufspannt - aber wie?
Ich habe nun erstmal die zweite Gerade umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie mache ich nun weiter?

30.01.2015, 15:03

Bjoern1982

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Zitat:

zur Geraden $\begin{eqnarray*} x - 1 = y - 4 = - z \end{eqnarray*}$

Was soll das sein ? Eine Gerade jedenfalls nicht. verwirrt

30.01.2015, 18:59

rudizet

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RE: Ebene bestimmen, die eine Gerade enthält und parallel zu einer zweiten ist
Hallo Kyobo,
wie formt man denn $\begin{eqnarray*} ~~~ x - 1 = y - 4 = - z ~~~ \end{eqnarray*}$ in eine Gerade um? Ist die Aufgabe denn so gegeben?
Gruß von rudizez

30.01.2015, 19:35

Bürgi

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@Bjoern1982

Guten Abend,

diese Schreibweise kommt aus dem angelsächsischen Raum und bedeutet:

$\begin{eqnarray*} x - 1 = y - 4 = - z \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rcl}x-1&=&-z \\ y-4&=&-z \\z&=&t \end{array} \end{eqnarray*}$

Nach einigen Schritten erhält man dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-1\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.01.2015, 21:38

riwe

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das habe ich auch. Augenzwinkern

(die Gerade ist definiert als Schnitt der Ebenen)

den Rest erledigt das Kreuzprodukt und die Normalvektorform

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Ebene bestimmen, die eine Gerade enthält und parallel zu einer zweiten ist

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