Satz von der offenen Abbildung

30.01.2015, 18:33

Nofeykx

Satz von der offenen Abbildung

Hallo zusammen. Ich glaube ich habe den Satz von der offenen Abbildung falsch verstanden, zumindest aber habe ich eine Frage dazu.

Der Satz besagt ja, dass eine lineare stetige surjektive Abbildung $\begin{eqnarray*} T: V\to W \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ Banachräume sind, eine offene Abbildung ist.

Bedeutet das nicht, dass eine jede stetige injektive Abbildung bereits eine stetige lineare Umkehrabbildung auf ihrem Bild besitzt? Das widerspricht irgendwie meiner Vorstellung. Ist dies tatsächlich so?

30.01.2015, 21:34

IfindU

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RE: Satz von der offenen Abbildung
Solange das Bild abgeschlossen ist, ja. Andernfalls wird $\begin{eqnarray*} T(V) \subset W \end{eqnarray*}$ Probleme mit der Vollständigkeit haben.

Und damit ist $\begin{eqnarray*} T(V) \end{eqnarray*}$ sowohl offen als auch abgeschlossen, also eine Zusammenhangskomponente von W, die wie jeder Unterraum auch die 0 enthält, also $\begin{eqnarray*} T(V) = W \end{eqnarray*}$ .

Hoffe habe keinen Denkfehler drin, bin recht erschöfft.

Edit: Lineare Räume sind nicht nur zusammenhängend, sondern konvex (und damit einfach-zusammenhängend usw.).

30.01.2015, 21:47

Nofeykx

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Zitat:

Solange das Bild abgeschlossen ist, ja. Andernfalls wird $\begin{eqnarray*} T(V) \subset W \end{eqnarray*}$ Probleme mit der Vollständigkeit haben.

Ah, sehr gut. Das hatte ich nicht bedacht. In unendlichdimensionalen Räumen muss das ja garnicht mehr so sein. Vielen Dank! Hatte den Fehler nicht gesehen, obwohl mir meine Intuition sagte, dass das nicht so stimmen kann.

Das, was du danach hingegen noch schreibst, kann ich nicht so Recht einordnen. Wieso folgt $\begin{eqnarray*} T(V) = W \end{eqnarray*}$ ? Da gibts doch Gegenbeispiele im endlichdimensionalen. Oder war das anders gemeint?

30.01.2015, 22:42

IfindU

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Offen ist eine sehr starke Bedingung. Der Ball um 0 in V wird um den offenen Ball um 0 in W geschickt. Linearität gibt dir sofort, dass du alle Elemente in W triffst.

Edit: Oder falls du das anders meinst: Ja, das Bild ist im endlich dimensionalen auch abgeschlossen. D.h. T wäre in dem Fall ein Isomorphismus zwischen V und T(V). Und es besitzt natürlich eine stetige Umkehrabbildung.

30.01.2015, 23:01

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Ich denke, da ist ein Fehler drin. Bei einer offenen Abbildung T muss das Bild einer offenen Menge nur offen im Unterraum T(V) sein. Es muss nicht offen in W sein.

30.01.2015, 23:02

Nofeykx

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Aber im allgemeinen Fall gegeben das $\begin{eqnarray*} T(V) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist erhält man doch nicht $\begin{eqnarray*} T(V) = W \end{eqnarray*}$ . So hatte ich deinen zweiten Absatz verstanden. Denn $\begin{eqnarray*} T(V) \end{eqnarray*}$ ist dann ja nicht offen in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ , sondern nur in $\begin{eqnarray*} T(V) \end{eqnarray*}$ , was ja eine ziemlich leere Bedingung ist ^^.

Deswegen fragte ich, ob das anders gemeint sei.

Hat sich aber nun für mich eigentlich alles geklärt. Vielen Dank nochmal für die Antwort und ein schönes Wochenende.

31.01.2015, 12:42

IfindU

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Da hast du Recht Hammer

. Da habe ich an offen in W und nicht T(V) gedacht.

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