Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome

Neue Frage »

30.01.2015, 20:31	D2109	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome Hallo liebe Helfer, Meine zu bearbeitende Aufgabe lautet: Gegeben sei eine komplexe $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Matrix A mit charakteristischem Polynom $\begin{eqnarray} \chi_A(t) \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \chi_A(t) \end{eqnarray}$ das charakteristische Polynom folgender Matrizen $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . i) $\begin{eqnarray} B = b \cdot A \end{eqnarray}$ , für ein $\begin{eqnarray} b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . ii) $\begin{eqnarray} B = A^{-1} \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ invertierbar ist. iii) $\begin{eqnarray} B = A^2 \end{eqnarray}$ . Die i) hab ich folgendermaßen gelöst: 1. Fall: $\begin{eqnarray} b \neq 0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \chi_B(t) = \chi_{b \cdot A}(t) = det (A \cdot b - t \cdot E_n) = det (b \cdot (A - \frac{t}{b} \cdot E_n)) = b^n \cdot det A- \frac{t}{b} \cdot E_n)) = b^n \cdot \chi_A(\frac{t}{b}) \end{eqnarray}$ 2. Fall: $\begin{eqnarray} b = 0 \Rightarrow A \cdot b = 0_{nn} \Rightarrow \chi_B (t) = \chi_{0_{nn}} (t) =det (0_{nn} - t \cdot E_n) = det (-t \cdot E_n) = (-t)^n \end{eqnarray}$ . Ich hoffe, die i) hab ich soweit richtig gelöst. Wie ich bei der ii) mit der inversen Matrix vorgehen soll weiß ich leider nicht... über ein paar Tipps würde ich mich sehr freuen ! Viele liebe Grüße
30.01.2015, 20:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome Benutze $\begin{eqnarray} E_n=AA^{-1} \end{eqnarray}$
30.01.2015, 20:58	D2109	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome Aber geht dann nicht mein charakteristisches Polynom verloren? In der Klammer hab ich dann ja nirgends mehr $\begin{eqnarray} ... -t \cdot E_n \end{eqnarray}$ stehen.. ?
30.01.2015, 21:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome Klammere A aus
30.01.2015, 21:10	D2109	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome $\begin{eqnarray} \chi_B (t) = \chi_{A^{-1}} (t) = det (A^{-1} - t \cdot A \cdot A^{-1}) \end{eqnarray}$ Wie soll ich da A ausklammern ?! Geht doch nur $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$
30.01.2015, 21:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome Versuch's damit $\begin{eqnarray} A-tE_n=A-tAA^{-1} \end{eqnarray}$
Anzeige

30.01.2015, 21:36	D2109	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome Okay also hier mein Versuch: $\begin{eqnarray} \chi_A (t) = det (A - t \cdot E_n) = det (A - t \cdot A \cdot A^{-1}) = det (A \cdot (1_{nn} - t \cdot A^{-1}) = det (A) \cdot det (1_{nn} - t \cdot A^{-1}) \ \end{eqnarray}$ Doch wie komme ich hier am Ende auf einen Ausruck, in dem $\begin{eqnarray} \chi_A (t) \end{eqnarray}$ vorkommt? Das char. Polynom muss ja von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sein.
30.01.2015, 21:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome und du siehst auf der rechten Seite nichts, was dem gesuchten char. Polynom nahe kommt?
30.01.2015, 21:42	D2109	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome Stop !!! Hab einen Fehler gefunden. Ich probier's erstmal kurz weiter. $\begin{eqnarray} A \cdot 1_{nn} \end{eqnarray}$ ist nicht gleich $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ oder?
30.01.2015, 21:48	D2109	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome Es muss heißen: $\begin{eqnarray} det (A) \cdot det (E_n - t \cdot A^{-1}) \end{eqnarray}$ .
30.01.2015, 21:52	D2109	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome Ich komme hier wirklich nicht weiter. Ein char. Polynom ist entweder so definiert: $\begin{eqnarray} \chi_A (t) := (\lambda \cdot E_n - A) \end{eqnarray}$ oder so: $\begin{eqnarray} \chi_A (t) := (A - E_n \cdot \lambda) \end{eqnarray}$ . Letzteres haben wir in den Vorlesungen aufgeschrieben. Die Form oben ist aber verkehrt...
30.01.2015, 22:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome Wenn ihr nicht eine recht ungewöhnliche Notation verwendet, fehlt in deinen Definitionen die Determinante. Wie auch immer. Ausklammern wäre wieder die Lösung gewesen, wahlweise $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} -t \end{eqnarray}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Matrizen & charakteristische Polynome

Verwandte Themen