Integralrechnung rückwärts

31.01.2015, 15:18

BluBluBlu

Integralrechnung rückwärts

Meine Frage:
Hallo!

gegebene Informationen: f(x) = x²-k ; k>0 ; Flächeninhalt: 32/3
Aufgabenstellung: Welche Zahl größer 0 muss man für k einsetzten damit der Graph von f mit der X-Achse eine Fläche von 32/3 (FE) einschließt?

Meine Ideen:
Ich habe zunächst die Nullstellen berechnet und bin auf x1= Wurzel k und x2= -Wurzel k gekommen.
Meine aufgestellte Stammfunktion: 1/3 x³-1/2 k²

Ich weiß nicht, wie ich jetzt weiter rechnen soll. Die allgemeine Integralfunktion/formel ist ja F(b)-F(a) , aber ich verstehe nicht ganz, wie ich dann mit den Variablen rechnen kann..

Danke für jede Antwort! smile

31.01.2015, 15:34

Mulder

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RE: Integralrechnung rückwärts

Zitat:

Original von BluBluBlu
Meine aufgestellte Stammfunktion: 1/3 x³-1/2 k²

Nee, so geht das nicht. k ist eine konstante Zahl. Du hast das k ja jetzt behandelt, als wäre es ein x.

Wie sähe eine Stammfunktion aus, wenn da nicht k, sondern meinetwegen 2 oder 5 oder 10 stehen würde? Und dann nochmal mit k.

Und naja, dann musst du k nur noch so bestimmen, dass da 32/3 rauskommt. Im Klartext:

$\begin{eqnarray*} F(\sqrt{k})-F(-\sqrt{k}) = \frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung musst du dann lösen. Hier geht es eben nicht nur darum, das Integral zu berechnen, sondern dann auch das k so zu bestimmen, dass das Integral einen bestimmten Wert hat. Nämlich 32/3. Zunächst mal errechnest du den Integralwert ganz normal, da wird dann noch dein k drinstecken. Denn je nachdem, was k ist, hat man oben ja eine ganz andere Funktion und damit auch einen anderen Integralwert. Ist aber die gleiche Rechnung wie immer.

31.01.2015, 16:07

BluBluBlu

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RE: Integralrechnung rückwärts
Ah okay stimmt! Also ist die Stammfunktion dann F(x)= 1/3x³-kx

Mein Problem liegt jetzt darin, diese Gleichung auszurechnen.

Man muss doch dann in der Stammfunktion für x Wurzel k bzw. -Wurzel k einsetzten oder?

Ich weiß nicht, wie ich da auf ein Ergebnis komme..

Tut mir leid, in Mathe steh ich immer total aufm Schlauch.. unglücklich

DANKE!

31.01.2015, 16:09

Mulder

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RE: Integralrechnung rückwärts

Zitat:

Original von BluBluBlu
Man muss doch dann in der Stammfunktion für x Wurzel k bzw. -Wurzel k einsetzten oder?

Jo. Dann mal ran an die Buletten. Die Gleichung, die man dann erhält, ist eigentlich sehr einfach.

Vielleicht führst du deine Rechnung mal aus, dann sieht man, woran es scheitert.

31.01.2015, 16:26

BluBluBlu

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RE: Integralrechnung rückwärts
$\begin{eqnarray*} F(\sqrt { k} ) -F(-\sqrt { k}) =\frac { 32}{ 3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3} \sqrt{k} - k \cdot \sqrt{k} ) - (\frac{1}{3} \cdot (-\sqrt{k})-k\cdot (-\sqrt{k} )) =\frac { 32}{ 3} \end{eqnarray*}$

ich weiß jetzt nicht, wie man das ganze auflösen kann, sodass dann für k eine Zahl herauskommt..

31.01.2015, 16:33

Mulder

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RE: Integralrechnung rückwärts

Zitat:

Original von BluBluBlu
$\begin{eqnarray*} F(\sqrt { k} ) -F(-\sqrt { k}) =\frac { 32}{ 3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3} \sqrt{k} - k \cdot \sqrt{k} ) - (\frac{1}{3} \cdot (-\sqrt{k})-k\cdot (-\sqrt{k} )) =\frac { 32}{ 3} \end{eqnarray*}$

Sitzen Fehler drin. Hoch 3 fehlt zweimal:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(\sqrt { k} ) -F(-\sqrt { k}) =\frac { 32}{ 3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3} \sqrt{k} \, \color{red}^3\color{black} - k \cdot \sqrt{k} ) - (\frac{1}{3} \cdot (-\sqrt{k})\color{red}^3\color{black} -k\cdot (-\sqrt{k} )) =\frac { 32}{ 3} \end{eqnarray*}$

Und naja, jetzt zusammenfassen und vereinfachen. Es ist ja auch

$\begin{eqnarray*} k \cdot \sqrt{k} = \sqrt{k} \, ^3 \end{eqnarray*}$ und damit kannst du doch locker nach k auflösen. Fass das erstmal alles zusammen. Und gut auf die ganzen Vorzeichen aufpassen.

31.01.2015, 17:12

BluBluBlu

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RE: Integralrechnung rückwärts
zusammengefasst bekomme ich heraus:

$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3} \sqrt{k}^{3} + \frac{1}{3} \sqrt{k}^{3} -\sqrt{k}^{3} \end{eqnarray*}$

ist das soweit korrekt?

31.01.2015, 17:30

Mulder

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RE: Integralrechnung rückwärts

Zitat:

Original von BluBluBlu
ist das soweit korrekt?

Ist es.

31.01.2015, 17:45

BluBluBlu

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RE: Integralrechnung rückwärts
Ich bekomme dann k= -2 heraus, aber es gilt ja k>0 ..

Wo liegt dann der Fehler?

31.01.2015, 17:54

Mulder

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RE: Integralrechnung rückwärts
Eigentlich solltest du bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{k}=-2 \end{eqnarray*}$ landen.

Natürlich ist auch dieses Ergebnis erstmal Schrott. Problem ist: Für k>0 verläuft der Graph von f im betrachteten Integrationsintervall unterhalb der x-Achse. Für k=1 zum Beispiel sieht das ganze so aus:

Ihr habt das im Unterricht sicher schon mehrmals gehabt. Was macht man in solchen Fällen? Man setzt Beträge. Also eigentlich arbeitet man mit $\begin{eqnarray*} |F(b)-F(a)| = \, ... \end{eqnarray*}$ . Denn wenn man das nicht macht, bekommt man negative Ergebnisse. Das ist in Ordnung, wenn es einfach nur heißt "Berechne das Integral". Ein Integral darf ja auch wohl negativ sein. Wenn die Aufgabe aber explizit verlangt, eine Fläche zu berechnen, sind negative Ergebnisse Mist. Denn negativer Flächeninhalt ... sowas gibt es nicht. Also: Beträge setzen.

Wenn du das hier tust, dann verschwindet auch dein negatives Vorzeichen. Und das sollte auch auf jeden Fall Erwähnung finden, damit dein Lehrer auch sieht dass du weißt, was du tust.

31.01.2015, 18:10

BluBluBlu

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RE: Integralrechnung rückwärts
Erst mal danke für die ausführliche Antwort! Ja, da habe ich komplett vergessen dran zu denken. Ich habe probeweise mal das Integral für k= Wurzel 2 berechnet, aber es kommt nicht annäherungsweise 32/3 heraus.

32/3 erhält man aber wenn k = 4 ist.. liegt der Fehler vllt doch beim zusammenfassen?

31.01.2015, 18:13

Mulder

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RE: Integralrechnung rückwärts
Ich verweise auf das, was ich oben geschrieben habe:

Zitat:

Original von Mulder
Eigentlich solltest du bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{k}=-2 \end{eqnarray*}$ landen.

Beträge berücksichtigen, dann landest du bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{k}=2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} k=4 \end{eqnarray*}$ .

Ob du irgendwo einen Rechenfehler gemacht hast, kann ich nicht sagen, ich habe ja deine weitere Rechnung nicht mehr gesehen. Das, was du um 17:12 Uhr geschrieben hast, war noch korrekt. Abgesehen davon eben, dass da noch die Beträge gefehlt haben.

Geh das nochmal alles in Ruhe durch, für heute muss ich mich verabschieden. Bei Rückfragen entweder morgen wieder oder vielleicht ist ja dann jemand so nett, einzuspringen.

31.01.2015, 19:13

BluBluBlu

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RE: Integralrechnung rückwärts
Habe meinen Fehler gefunden, komme jetzt auf k=4!

Vielen Dank für die Antworten! Freude

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