Minimalpolynom

31.01.2015, 15:46

loyloep

Minimalpolynom

Ich beschäftige mich gerade it Körpererweiterungen und Minimalapolynomen. Um das besser zu verstehen, möchte ich folgende Aufgabe lösen.

Aufgabe: Bestimmen Sie das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} + 1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und geben Sie den Grad der Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset \mathbb Q (\sqrt{7} + 1) \end{eqnarray*}$ an.

Leider fällt es mir schwer überhaupt einen Startpunkt für die Aufgabe zu finden, da mir das Minimalpolynom etwas rätselhaft erscheint.

Kann jemand mir hier bitte weiterhelfen?

31.01.2015, 15:54

Mulder

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RE: Minimalpolynom

Zitat:

Original von loyloep
Leider fällt es mir schwer überhaupt einen Startpunkt für die Aufgabe zu finden, da mir das Minimalpolynom etwas rätselhaft erscheint.

Inwiefern erscheint dir das Minimalpolynom rätselhaft?

Du suchst ein normiertes, irreduzibles Polynom minimalen Grades mit Koeffizienten aus $\begin{align*} \mathbb Q \end{align*}$ , das die Nullstelle $\begin{align*} \sqrt{7}+1 \end{align*}$ besitzt.

Startschuss:

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{7}+1 \end{eqnarray*}$

Alles, was irrational ist, muss natürlich irgendwie verschwinden. Also Umformungen durchführen. Wurzeln wird man üblicherweise durch Quadrieren los.

Ersmal ein Polynom suchen, das überhaupt diese Nullstelle t hat. Danach kann man weitersehen, ob das auch irreduzibel ist. Wenn nicht, faktorisieren. Das gesuchte Minimalpolynom steckt dann wohl als Faktor irgendwie drin.

04.02.2015, 11:02

loyloep

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Ich habe folgendes Polynom gefunden: $\begin{eqnarray*} f(x) = (x-1)^2 - 7 = x^2 - 2x - 6 \end{eqnarray*}$ .

Wie kann ich jetzt überprüfen, dass das Polynom normierts, irreduzibl mit minimalen Grades mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist?

Danke im Voraus.

04.02.2015, 18:04

Mulder

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RE: Minimalpolynom

Zitat:

Original von loyloep
Wie kann ich jetzt überprüfen, dass das Polynom normierts, irreduzibl mit minimalen Grades mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist?

Die Begriffe erstmal nachschlagen. Dann solltest du da auch selber Ansätze finden und diese präsentieren können. Da ist jetzt nämlich nicht mehr viel zu tun.

05.02.2015, 12:21

loyloep

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Also normiert ist das Polynom.

Ob es auch irreduzibel mit minimalen Grad mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist kann ich nicht sagen. Wir haben noch keine "Tests" kennengelernt.

05.02.2015, 16:11

RavenOnJ

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Wenn's reduzibel wäre, dann müsstest du es als $\begin{align*} (x-a)(x-b),a,b\in\mathbb Q \end{align*}$ schreiben können. Ist das möglich angesichts der bekannten Nullstelle?

05.02.2015, 18:19

Elvis

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Test 1: 1, -2 und -6 sind rationale Zahlen, also sind die Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .
Test 2: $\begin{eqnarray*} x-t \end{eqnarray*}$ ist kein rationales Polynom, also hat $\begin{eqnarray*} x^2-2x-6 \end{eqnarray*}$ minimalen Grad.

06.02.2015, 11:17

loyloep

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@RavenOnJ: OK, also irreduzibles Polynom bedeutet ich kann das Polynom nicht in Faktoren zerlegen. Gibt es da einen eleganten Weg dies zu überprüfen?

Dein Vorschlag ist ja die an der Nullstelle zu erkenne. Ich weiss nun aber nicht was die Nullstelle mir der Irreduzibiliät zu tun hat.

Danke im Voraus für die Antworten.

06.02.2015, 11:18

loyloep

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@Elvis: Warum ist $\begin{eqnarray*} x- t \end{eqnarray*}$ ein rationales POlynom. t kann doch eine irrationale Zahl sein. OOder verstehe ich da etwas falsch.

06.02.2015, 11:23

loyloep

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@Elvis Ich sehe gerade: du schreibst: $\begin{eqnarray*} x - t \end{eqnarray*}$ ist kein rationales Polynom. Warum? Und was hat das damit zu tun, ob es auch ein minimales Polynom ist?

06.02.2015, 11:27

Elvis

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$\begin{eqnarray*} t=\sqrt 7-1 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} x-t \end{eqnarray*}$ kein rationales Polynom. Es gibt kein rationales Polynom vom Grad 1, das $\begin{eqnarray*} \sqrt 7 \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat, sonst wäre $\begin{eqnarray*} \sqrt 7 \end{eqnarray*}$ rational. Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ muss also mindestens den Grad 2 haben. Du hast ein Polynom 2. Grades gefunden, das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat. Also hat das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ den Grad 2.

"Minimal" in "Minimalpolynom" ist der minimal mögliche Grad des Polynoms.

06.02.2015, 12:18

RavenOnJ

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Zitat:

Original von loyloep
@RavenOnJ: OK, also irreduzibles Polynom bedeutet ich kann das Polynom nicht in Faktoren zerlegen. Gibt es da einen eleganten Weg dies zu überprüfen?

Dein Vorschlag ist ja die an der Nullstelle zu erkenne. Ich weiss nun aber nicht was die Nullstelle mir der Irreduzibiliät zu tun hat.

Es ist ja $\begin{align*} f:=X^2-2X-6\in\mathbb Q[X] \end{align*}$ . Dieses Polynom hat Grad 2 und ist normiert. Wenn es reduzibel wäre, dann müssten deswegen die Faktoren beide Grad 1 haben. Man müsste also schreiben können:
$\begin{align*} X^2-2X-6=(X-a)(X-b)\in\mathbb Q[X]\text{ mit }X-a,X-b\in \mathbb Q[X] \end{align*}$ . Für eine Nullstelle y von $\begin{align*} f \end{align*}$ müsste per Einsetzungshomomorphismus gelten:
$\begin{align*} y^2-2y-6=0 \end{align*}$ .

Bei Reduzibilität von $\begin{align*} f \end{align*}$ also
$\begin{align*} y^2-2y-6=(y-a)(y-b)=0 \end{align*}$

Da der Ring $\begin{align*} \mathbb Q[X] \end{align*}$ nullteilerfrei, müsste oBdA folgen:
$\begin{align*} (y-a)=0\Rightarrow y=a\in\mathbb Q \end{align*}$ .

Nun hast du aber zwei irrationale Nullstellen, nämlich $\begin{align*} 1\pm\sqrt{7} \end{align*}$ . Also ist eine solche Zerlegung von $\begin{align*} f \end{align*}$ in Polynome 1. Grades innerhalb von $\begin{align*} \mathbb Q[X] \end{align*}$ nicht möglich.

06.02.2015, 13:07

loyloep

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Danke für Eure Ausführungen. Die waren sehr hilfreich fürs Verstehen.

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