Ungleichung Beweisen, Ableitungen

31.01.2015, 16:01

Philosopher

Ungleichung Beweisen, Ableitungen

Hey, ich bin's mal wieder. Ich hoffe ihr könnt mir auch bei dieser Aufgabe auf die Sprünge helfen.
Das ist zwar eine Aufgabe zu meiner Analysis Vorlesung, aber vielleicht wollt ihr das wieder in die Schulmathematik verschieben Augenzwinkern

Ich poste es erst mal hier.

Es geht um folgende Aufgabe:

Beweisen Sie für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \le \frac{x^2+1}{x^2+x+1} \le 2 \end{eqnarray*}$

Meine Idee hierfür ist folgende: Ich betrachte eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R, f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+x+1} \end{eqnarray*}$ Davon bilde ich die ersten beiden Ableitungen, um Hochpunkt und Tiefpunkt zu ermitteln, von denen es offensichtlich jeweils einen gibt, und zu zeigen, dass der Tiefpunkt=2/3 und der Hochpunkt=2 ist. Die Ableitungen müssen wir mit der h-Methode machen. Das bereitet mir jedoch Schwierigkeiten:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \left(\frac{(x+h)^2+1}{(x+h)^2+xh+1}-\frac{x^2+1}{x^2+x+1} \right)= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \left( \frac{x^2+2xh+h^2+1}{x^2+3xh+h^2+1}-\frac{x^2+1}{x^2+x+1} \right)=\lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2+1}{hx^2+3xh^2+h^3+h}-\frac{x^2+1}{hx^2+hx+h} \end{eqnarray*}$

Und hier steh ich schon vor Problemen. Ich sehe einfach nicht die entscheidende Umformung, sodass ich h gegen 0 schicken kann. Wenn ich versuche, h auszuklammern, hab ich immer noch irgendwo h im Nenner...

31.01.2015, 16:08

Iorek

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Anstatt das umständlich über eine Kurvendiskussion zu machen (vor allem wenn du mit der h-Methode arbeiten musst), könntest du die Ungleichung ja einfach mal ganz elementar mit Äuqivalenzumformungen bearbeiten. Augenzwinkern

31.01.2015, 16:26

Philosopher

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Ok, probieren wir das mal mit der ersten Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \le \frac{x^2+1}{x^2+x+1} \Leftrightarrow \frac{2x^2+2x+2}{3} \le x^2+1 \Leftrightarrow 2x^2+2x+2 \le 3x^2+3 \Leftrightarrow 2x^2+2x \le 3x^2+1\Leftrightarrow 2x+2 \le 3x+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Aber das ist doch gar nicht wahr für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ verwirrt

31.01.2015, 17:23

Mathema

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Zitat:

Original von Philosopher
Ok, probieren wir das mal mit der ersten Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \le \frac{x^2+1}{x^2+x+1} \Leftrightarrow \frac{2x^2+2x+2}{3} \le x^2+1 \Leftrightarrow 2x^2+2x+2 \le 3x^2+3 \Leftrightarrow 2x^2+2x \le 3x^2+1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

Bring doch mal an dieser Stelle auf eine Seite, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1\ge 0 \end{eqnarray*}$

Und das ist nun doch nicht so schwer zu zeigen. Augenzwinkern

edit: Noch ein Hinweis zu deiner Rechnung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \left(\frac{(x+h)^2+1}{(x+h)^2+xh+1}-\frac{x^2+1}{x^2+x+1} \right)= ... \end{eqnarray*}$

Hier habe ich bereits aufgehört zu lesen. Es muss wohl eher (x+h) statt xh im ersten Nenner lauten. Zudem würde (wenn du denn die Ableitung machen möchtest) eine Polynomdivision etwas Erleichterung schaffen.

Wink

31.01.2015, 17:52

Philosopher

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Ahaha, ja vielen Dank für den Hinweis. Manchmal ist man halt doof Hammer

Alles klar, ich denke jetzt bekomm ichs hin Augenzwinkern

Dank euch beiden!

31.01.2015, 18:15

Mathema

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Alles klar - gerne.

Ich hoffe dir ist auch bewusst, dass deine letzte Umformung großer Mist war. Mir scheint es nämlich so, dass du durch x dividiert hast, und das obwohl x eine reelle Zahl, also auch Null ist!

Schönen Abend dir.

smile

31.01.2015, 18:33

Philosopher

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Jop, das war allerdings Mist. Danke für den Hinweis.

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