Alle verknüpfungstreuen Abbildungen zwischen zwei Gruppen bestimmen

01.02.2015, 13:25

fuuman

Alle verknüpfungstreuen Abbildungen zwischen zwei Gruppen bestimmen

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} A = \{e_1,a_1,b_1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M = \{e_2, a_2, b_2\} \end{eqnarray*}$ Mengen und $\begin{eqnarray*} (A, *) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (M, \cdot) \end{eqnarray*}$ Gruppen mit dem jeweiligen e als neutralem Element. Bestimme alle verknüpfungstreuen Abbildungen $\begin{eqnarray*} f: (A, *) \to (M, \cdot) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir ist klar was Verknüpfungstreue bedeutet. Es ist egal, ob ich in der Ausgangsgruppe verknüpfe und dann abbilde, oder erst abbilde und dann in der Zielgruppe verknüpfe. Das Ergebnis ist gleich.
Sprich $\begin{eqnarray*} f(x * y) = f(x) \cdot f(y) \end{eqnarray*}$ .
Die Identität gehört sicher zu den Lösungen. Aber mir fehlt der Weg auf weitere Lösungen zu kommen.

Für Tipps wäre ich sehr dankbar.

Latex korrigiert. Guppi12

01.02.2015, 14:22

bijektion

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Beachte, dass für solche Abbildungen $\begin{eqnarray*} f(e_1)=f(e_1*e_1)=f(e_1)\cdot f(e_1) \end{eqnarray*}$ gilt, also $\begin{eqnarray*} f(e_1)=e_2 \end{eqnarray*}$ .

Ist es richtig, dass $\begin{eqnarray*} |A|=|M|=3 \end{eqnarray*}$ gilt?

01.02.2015, 15:20

fuuman

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Zitat:

Original von bijektion
Ist es richtig, dass $\begin{eqnarray*} |A|=|M|=3 \end{eqnarray*}$ gilt?

Jap, korrekt.

02.02.2015, 00:41

fuuman

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Komme trotzdem irgendwie nicht auf den entscheidenden Gedanken.

02.02.2015, 11:24

Elvis

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$\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ muss ein Bild haben. Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür ? Was folgt dann aufgrund der Verknüpfungstreue ? Speziell : ist dann das Bild von $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ schon festgelegt ? Wenn ja, bist du fertig. Wenn nein, muss $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ ein Bild haben, ...

Wenn du den Homomorphiesatz kennst, geht's natürlich etwas leichter.

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