Tschebyscheff-Ungleichung rechnen

01.02.2015, 16:02

Mathelover

Tschebyscheff-Ungleichung rechnen

Hallo zusammen,

ich habe ein Frage zu einer Berechnung mittels der Tschebyscheff-Ungleichung.

Folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ binomialverteilt mit Parametern $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie mit der Tschbyscheff-Ungleichung

Schranken für die folgenden Werte:

$\begin{eqnarray*} (i) P(X_{120} \in [ 18, 22 ] \end{eqnarray*}$ )

Lösung:

Es gilt $\begin{eqnarray*} X_{120} \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} Bin(120, \frac{1}{6}) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} E(X_{120}) = 120*\frac{1}{6} = 20 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} Var(X_{120} ) = 120*\frac{1}{6}*\frac{5}{6}= 50. \end{eqnarray*}$

Mit der Tschebyscheff-Ungleichung erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} P(X_{120} \in [18,22] ) = 1 - P(|X_{120}-EX_{120}|\geq 3) \geq 1 - \frac{Var(X_{120})}{3^2} = 1- \frac{50}{27}) = -\frac{23}{27} \end{eqnarray*}$

Meine Frage: Woher kommt die 3 (also c)? Die Definition der Tschebyscheff-Ungleichung sagt, dass diese Ungleichung für alle c > 0 gilt. Also warum hier die 3?. Und warum werden beide Seiten von 1 subtrahiert? Wieso habe ich $\begin{eqnarray*} E(X_{120}) = 20 \end{eqnarray*}$ berechnet, wenn das gar nicht verwendet wird?
Verstehe ich leider nicht. Hoffe auf Aufklärung.

Danke für jeden Hinweis.
Wink

01.02.2015, 20:30

1nstinct

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RE: Tschebyscheff-Ungleichung rechnen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(X_{120} \in [18,22] ) = 1 - P(|X_{120}-EX_{120}|\geq 3) \geq 1 - \frac{Var(X_{120})}{3^2} = 1- \frac{50}{27}) = -\frac{23}{27} \end{eqnarray*}$

Ein Zwischenschritt:

$\begin{eqnarray*} P(X_{120} \in [18,22] ) =1-P(X_{120} \notin [18,22]) \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du irgenwie den E-Wert reinbekommen:

$\begin{eqnarray*} =1-P(X_{120}-20 \notin [-2,2])=1 - P(|X_{120}-20|\geq 3) \end{eqnarray*}$

03.02.2015, 09:43

Mathelover

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RE: Tschebyscheff-Ungleichung rechnen
Ich danke dir vielmals 1nstinct, hast mich gerettet Freude

03.02.2015, 09:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathelover
$\begin{eqnarray*} Var(X_{120} ) = 120*\frac{1}{6}*\frac{5}{6}= {\color{red}50}. \end{eqnarray*}$

Da würde ich an deiner Stelle nochmal nachrechnen. Augenzwinkern