Unzulässige Suchrichtung

01.02.2015, 16:13	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Unzulässige Suchrichtung Hallo zusammen, folgende Aufgabe: Wählt man Suchrichtungen, die fast senkrecht zur Gradientenrichtung verlaufen, so kann es passieren, dass das Abstiegsverfahren nicht gegen den Optimalpunkt konvergiert. Als Beispiel soll hier $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2):=\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2) \end{eqnarray}$ betrachtet werden, mit den Suchrichtungen $\begin{eqnarray} s^k = g_{\bot}^k - \frac{1}{2^{k+3}}\nabla f(x^k) \end{eqnarray}$ . Dabei sei $\begin{eqnarray} g_{\bot}^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g_{\bot}^k \bot \nabla f(x^k) \end{eqnarray}$ so gewählt, dass $\begin{eqnarray} \|\|s^k\|\| = \|\|\nabla f(x^k)\|\| \end{eqnarray}$ gilt. Zeigen Sie, dass das Abstiegsverfahren mit diesen Suchrichtungen (und zulässiger Schrittweitenwahl) für keinen Startpunkt $\begin{eqnarray} x^0 \in\mathbb R^n \backslash \{ 0 \} \end{eqnarray}$ gegen den Minimalpunkt $\begin{eqnarray} \hat x = 0 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konvergiert und $\begin{eqnarray} \hat x \end{eqnarray}$ auch kein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray} (x^k) \end{eqnarray}$ ist. Ich habe folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} \frac{\nabla f(x^k) s^k}{\|\|s^k\|\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\nabla f(x^k) s^k}{\|\|\nabla f(x^k)\|\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{-1}{2^{k+3}} \|\|\nabla f(x^k)\|\| \end{eqnarray}$ hieran sieht man, dass die Suchrichtung nicht zulässig sein kann, da dieser Ausdruck gegen Null konvergierend nicht zwangsläufig $\begin{eqnarray} \nabla f(x^k) \end{eqnarray}$ gegen Null konvergierend bedeutet. Doch ein Beweis ist dass noch nicht, da es ja trotzdem Punkte geben könnte, bei der die Iteration Erfolg hat. Hat mir hierzu jemand eine Idee wie ich vorgehen kann? Vielen Dank.

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