Polynome irreduzibel? |
| 01.02.2015, 22:12 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Polynome irreduzibel?
Ich habe mehrere Polynome und möchte diese darauf überprüfen, ob sie reduzibel sind; Staren wir mit: Wir wenden das Eisensteinkriterium an; Das Polynom ist aus Z[x], 7 ist eine Primzahl und teilt nicht a_n(1), stimmt; Außerdem teilt es 7, 49 und 77, passt auch und 7^2=49 teilt nicht 77; Also ist nach dem Kriterium f irreduzibel in Q[x] Nun weiter; Wir nehmen an, dass das Polynom in zwei Polynome vom Grad 2 zerfällt; also: Damit stellen wir ein Gleichungssystem auf; Dieses besagt: a1*a2=1; a1*b2+b1*a2=0; a1*c2+b1*b2+c1*a2=5;c1*c2=6 Nun mit der Annahme, dass sich a1*b2 und b1*a2 nicht gegenseitig aufheben sondern jeweils 0 sind folgt, dass b1 und b2 wegen (i) 0 sein müssen; Dann kann man a2 schreiben als a2=x*a1 und mit den anderen Termen bekommt man unendlich viele Lösungen jeweils in Abhängigkeit von x; Die einfachste Lösung ist: Also ist das Polynom reduzibel Nun zum Letzten: Hier wenden wir einfach den Zwischenwertsatz aus der Analysis an; da p(0)=1 und p(-1)=-2 und p stetig, gibt es eine Nullstelle c im Intervall (-1,0) Und nach Vorlesung existiert daher ein Polynom q aus R[x] mit p(x)=q(x)*(x-c), also ist p reduzibel in R[x] Nun meine Frage: Stimmt das alles so?? Und ein Problem; Bei dem letzten Problem geht es um das Polynom aus c) in Q, also und hier fehlt mir jeder Ansatz zu beweisen oder zu widerlegen, dass das Polynom irreduzibel ist; Hat mir da jemand eine Idee? |
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| 01.02.2015, 22:36 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, das erste ist richtig. Das zweite etwas umständlich, quadratische Substitution täte es auch. Auch das dritte ist richtig aber umständlich. Ein irreduzibles reelles Polynom kann nur Grad 1 oder 2 haben. (Beweis z.B. mit dem Zwischenwertsatz, oder mit dem Fundamentalsatz der Algebra) Zum Letzten: Es reicht zu zeigen, dass das Polynom keine Nullstellen. Und die Menge an Kandidaten für Nullstellen ist ziemlich übersichtlich. |
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| 01.02.2015, 22:52 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für deine Antwort..
Ich probiere das 2. mal zu vereinfachen; Zum 4. : Ich soll also beweisen, dass das Polynom keine Nullstellen in Q hat, richtig? Aber wieso sind die Kandidiaten dafür sehr übersichtlich? Du musst mir wahrscheinlich etwas mehr helfen.. 
EDIT: 2. ist gelöst, vielen Dank für den Hinweis; Setze u=x^2; Dann ist nach der MNF u1=-3 und u2=-2 und damit folgt u^2+5u+6=(u+3)(u+2) und mit Rücksubstitution folgt das Gewünschte |
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| 01.02.2015, 23:03 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » |
de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen (Wobei mir neu wäre dass dieser "Satz" einen Namen hat) |
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| 01.02.2015, 23:52 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, vielen Dank, ich denke, das macht es sehr einfach; Für jede rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms gilt, dass ihr Zähler das Absolutglied und ihr Nenner den Leitkoeffizienten des Polynoms teilen müssen. Da Absolutglied und Leitkoeffizient jeweils 1 sind, muss die Nullstelle 1 oder -1?? sein, das haut nicht hin und damit ist das Polynom irreduzibel; Nun aber noch eine kurze Frage; In dem Beispiel von dem Link wird ein ähnliches Polynom genommen und da wird dann gesagt, dass 1 und -1 mögliche Lösungen sind; Das heißt, dass -1 1 teilt? Ist das generell bei negativen Zahlen so? Also z.B. mit 2 und 8; 2 teilt 8, -2 teilt 8, 2 teilt -8 und -2 teilt -8?? Stimmt das alles? |
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| 02.02.2015, 07:48 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » |
hallo, deine letzte frage kann ich dir auch beantworten: ja, das stimmt alles. 
gruss ollie3 |
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| 02.02.2015, 10:46 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke euch allen!!!
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