Basistransformation - Aufgabe

02.02.2015, 13:24

AstroNerd

Basistransformation - Aufgabe

Hallo zusammen smile

Um zu überprüfen, ob ich nun die Basistransformation richtig verstanden habe, löse ich hier eine Aufgabe und hoffe auf Feedback/Kritik smile

Gegeben seien Basisvektoren der Unterräume $\begin{eqnarray*} S_1=\left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 6 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -9 \\ \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_2= \left[\begin{pmatrix} 10 \\ 11 \\ 12 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 13 \\ 14 \\ 15 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 16 \\ 17 \\ 18 \\ \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ sowie der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ im Unterraum $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ .
Ermitteln Sie den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ zur Basis $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ .

Rechnung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -7 \\ 2 & -5 & 8 \\ -3 & 6 & -9 \\ \end{pmatrix} \cdot \vec{b'} = \begin{pmatrix} 10 & 13 & 16 \\ 11 & 14 & 17 \\ 12 & 15 & 18 \\ \end{pmatrix} \cdot \vec{b} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -7 \\ 2 & -5 & 8 \\ -3 & 6 & -9 \\ \end{pmatrix} \cdot \vec{b'} = \begin{pmatrix} 10 & 13 & 16 \\ 11 & 14 & 17 \\ 12 & 15 & 18 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2\\ \end{pmatrix} \vec{b'} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -7 \\ 2 & -5 & 8 \\ -3 & 6 & -9 \\ \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 10 & 13 & 16 \\ 11 & 14 & 17 \\ 12 & 15 & 18 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2\\ \end{pmatrix} \vec{b'} = \begin{pmatrix} \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{1}{4} & 1\frac{1}{4} & \frac{3}{4}\\ \frac{1}{8} & \frac{5}{6} & \frac{13}{24} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}10 & 13 & 16 \\ 11 & 14 & 17 \\ 12 & 15 & 18 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2\\ \end{pmatrix} \vec{b'} = \begin{pmatrix} 42 \\ 199.5 \\331.5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Scheint es so richtig zu sein ? Das Problem ist, ein Online Programm gibt mir eine andere Inverse Matrix aus als das Programm, welches ich geschrieben habe. Ich habe hier nun die Inverse benutzt, die von meinem Program ermittelt wurde.
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd

02.02.2015, 13:50

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RE: Basistransformation - Aufgabe

Zitat:

Ermitteln Sie den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ zur Basis $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ .

Soll das zur Basis S_1 heißen?
Hast du einfach mal nachgerechnet, ob deine Inverse stimmt? geschockt

02.02.2015, 14:07

AstroNerd

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RE: Basistransformation - Aufgabe
Ja doch, zur Basis S_1 smile

Ich bekomme das selbe raus wie das, was mir mein Programm ausgegeben hat.

02.02.2015, 14:12

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RE: Basistransformation - Aufgabe
Dann lass es mich klarer sagen: Hast du mal das Produkt der beiden Matrizen gebildet?

02.02.2015, 15:07

AstroNerd

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RE: Basistransformation - Aufgabe
Zunächst muss ich mich korrigieren, ich erhalte nun $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 42 \\ 192 \\ -38 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Ich hatte die Matrixinversion falsch abgeschrieben.
Mein Programm gibt mir für die Inverse $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.125 & 0.25 & 0.125 \\ 0.25 & 1.25 & 0.75 \\ -0.125 & -0.91\bar{6} & 0.541\bar{6} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Matrizenmultiplikation ist nicht-kommutativ. Ich hoffe, ich habe in meiner Rechnung in der richtigen Reihenfolge mutlipliziert. Wenn ich $\begin{eqnarray*} M_1^{-1} \times M_2 \end{eqnarray*}$ (also inverse Matrix aus S_1 mal Matrix aus S_2) erhalte ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5.5 & 7 & 8.5 \\ 25.25 & 32 & 38.75 \\ -4.8\bar{3} & -6.8\bar{3} & -7.8\bar{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , bei $\begin{eqnarray*} M_2 \times M_1^{-1} \end{eqnarray*}$ hingegen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2.5 & 4.08\bar{3} & 19.\bar{6} \\ 2.75 & 4.\bar{6} & 21.08\bar{3} \\ 3 & 5.25 & 22.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} \vec{b'} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 52.5 \\ 57 \\ 61.5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

02.02.2015, 15:23

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RE: Basistransformation - Aufgabe
Du hast dir ein Programm geschrieben, das die Inverse berechnet und bekommst von einem anderen Programm ein anderes Ergebnis. Bist du da nicht auf die Idee gekommen, dass deine Inverse falsch sein könnte?
Und das man das einfach durch Berechnung von $\begin{eqnarray*} M_1M_1^{-1} \end{eqnarray*}$ prüfen könnte?
Hast du deinen selbst geschriebenene Code überhaupt getestet?

02.02.2015, 16:02

AstroNerd

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RE: Basistransformation - Aufgabe
Anscheinend scheint mein Quelltext leider falsch zu sein. Der online Taschenrechner gibt mir folgendes aus: $\begin{eqnarray*} M_1^{-1}=\begin{pmatrix} 0.5 & 1 & 0.5 \\ 1 & 5 & \frac{22}{6} \\ 0.5 & 3 & \frac{13}{6} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Demnach muss meine Rechnung wie folgt lauten:
$\begin{eqnarray*} M_1^{-1} \cdot M_2 = \begin{pmatrix} 0.5 & 1 & 0.5 \\ 1 & 5 & \frac{22}{6} \\ 0.5 & 3 & \frac{13}{6} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 & 13 & 16 \\ 11 & 14 & 17 \\ 12 & 15 & 18 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 & 28 & 34 \\ 109 & 138 & 167 \\ 64 & 81 & 98 \\ \end{pmatrix} \vec{b'} = \begin{pmatrix} 0.5 & 1 & 0.5 \\ 1 & 5 & \frac{22}{6} \\ 0.5 & 3 & \frac{13}{6} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 & 13 & 16 \\ 11 & 14 & 17 \\ 12 & 15 & 18 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 & 28 & 34 \\ 109 & 138 & 167 \\ 64 & 81 & 98 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 168 \\ 828 \\ 486 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sind die Werte nicht aber ein wenig groß/überhaupt realistisch ?

02.02.2015, 16:16

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RE: Basistransformation - Aufgabe
Diese Inverse ist richtig, ebenso die übrige Rechnung.

Zitat:

Sind die Werte nicht aber ein wenig groß/überhaupt realistisch ?

Anhand welcher Kriterien kommst du denn zu der Aussage? Gibt es einen Kontext, in dem die Werte in einer bestimmten Größenordnung zu erwarten wären?
Oder sind dreistellige Werte in einer Übungsaufgabe einfach nicht erlaubt Augenzwinkern

Ist $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ korrekt? Immerhin sind die drei Vektoren linear abhängig und sprichst am Anfang von Basisvektoren.

02.02.2015, 16:39

AstroNerd

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RE: Basistransformation - Aufgabe
Ich habe nochmal meinen Quelltext überarbeitet, es lag an einem lächerlichen kleinen Vorzeichenfehler in der Determinante. Nun gibt mein Programm die richtige Matrix aus. Um ehrlich zu sein, habe ich mir die Aufgabe selbst ausgedacht, deswegen kann es auch sein, dass deswegen die Werte so groß sind.
Was mir nicht einleuchtet ist, dass die Vektoren der Menge S_2 linear abhängig sein sollten, sie sind keine Linearkombination voneinander bzw. keine Vielfache.
Bitte erläutern.

02.02.2015, 16:41

AstroNerd

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RE: Basistransformation - Aufgabe
Oops ... die sind doch linear abhängig, da die Determinante 0 ist. Das ist jetzt peinlich Hammer

Aber immerhin habe ich das Prinzip nun verstanden, vielen Dank.

02.02.2015, 16:50

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RE: Basistransformation - Aufgabe
Die mittlere Spalte ist das arithmetische Mittel der beiden äußeren. Also ist $\begin{eqnarray*} s_1-2s_2+s_3=0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} s_i \end{eqnarray*}$ die i-te Spalte von $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ ist

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