Beweis durch Induktion

02.02.2015, 14:03	A!ive	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch Induktion Ich bin grade am durchrechnen einiger Aufgaben bzgl. Induktion, allerdings war das noch nie mein Thema und hoffe das mir jemand auf die Sprünge helfen kann Gegeben ist folgende Behauptung: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n k³ = \frac{n²(n+1)²}{4} \end{eqnarray}$ Induktionsanfang für n = 1 .... "einsetzten" 1 = 1 passt und läuft. Jetzt kommt der Punkt wo ich absolut nicht mehr weiter weiß. Für den Indutktionsschritt n+1 dann entsprechend: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k³ = \frac{(n+1)²((n+1)+1)²}{4} \end{eqnarray}$ Ich habe absolut keine Ansatz was ich jetzt machen soll? Ich hoffe das mir jemand einen Denkanstoß geben kann. LG A!ive
02.02.2015, 14:11	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis durch Induktion Sinnvoll ist es, $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k³ \end{eqnarray}$ folgend aufzuspalten, indem man den letzten Summanden herauszieht: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} k³ +(n+1)^{3} \end{eqnarray}$ Jetzt setzt man die Ind. Vor. ein und versucht durch Umformung auf das gewünschte - nämlich $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{2} \cdot(n+2)^{2}}{4} \end{eqnarray}$ - zu kommen.
02.02.2015, 15:53	A!ive	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis durch Induktion Danke für die schnelle antwort, ich habe jetzt mal etwas weitergemacht und komme zu folgendem "schluss"! $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=1}^{n} k³ = \frac{n²(n+1)²}{4} = <br /> \sum\limits_{k=1}^{n} k³ + \sum\limits_{k=n+1}^{n+1} k³ = <br /> \sum\limits_{k=1}^{n} k³ + (n+1)³ =<br /> \frac{n²(n+1)²}{4} + (n+1)³ = <br /> \frac{n²(n+1)²+4(n+1)³}{4} <br /> \end{eqnarray}$ Aber, warum aber darf ich den summanden einfach extrahieren? Funktioniert das Prinzip immer um von n+1 wieder auf n zu schließen? Abgesehen davon würde das jetzt als Beweis reichen? - Oder anders gesagt ich sehe darin kein Beweis? Bzw. wüsste nichts damit anzufangen. LG A!ive
02.02.2015, 16:15	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
man kann eine Summe (oder auch ein Produkt), das bis n+1, geht immer derart aufteilen, dass man eine Summe (ein Produkt) bis n hat und den letzen Summanden (Faktor) separat. Das hat hier den Vorteil, dass man die zu beweisende Aussage in die Rechnung einsetzen kann. Ein Beweis ist das noch nicht. Man sollte nach der Induktoinsverankerung eher so anfangen: $\begin{eqnarray} n-> n+1: \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{3}= \sum\limits_{k=1}^n k^{3} + (n+1)^{3} \end{eqnarray}$ Ab da ist zwar richtig gerechnen, allerdings muss man noch weiter umformen, bis man auf $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{2} \cdot(n+2)^{2}}{4} \end{eqnarray}$ kommt. Dann ist der Beweis abgeschlossen. Alls Tipp: klammere im Zähler richtig aus
02.02.2015, 18:10	A!ive	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank, bin jetzt auf die Lösung gekommen, nur noch ein bisschen umformen und passt. Danke sehr. Lg A!ive

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