Oberfläche einer Schale - Untermannigfaltigkeit?

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LucasS. Auf diesen Beitrag antworten »
Oberfläche einer Schale - Untermannigfaltigkeit?
Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe, in der es darum geht die Oberfläche einer Schale zu berechnen.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Eine Schale S hat die Form eines Paraboloids in R3 gegeben durch die Gleichung z = x2 + y2 und beschra ?nkt von oben durch die Ebene z = 4. A1i. Berechnen Sie die Oberfla ?che der Schale S.

Meine Ideen:
Ich denke, dass das eine Untermannigfaltigkeit, über die man ntegrieren muss. Aber das ist auch schon der erste Punkt, bei dem ich mir unsicher bin.
Aber angenommen es ist eine Untermannigfaltigkeit. Dann muss ich für die Menge eine Parametrisierung finden.
Die Menge würde ich mathematisch mal folgender Maßen formulieren
S={}

Als Parametrisierung habe ich mir dann mal folgendes zurechtgeschustert:


Diese Parametrisierung muss ich dann nach r und ableiten, dann das Kreuzprodukt der beiden Vektoren bilden und davon dann den Betrag.
Dann erhalte ich

Die Schale der Oberfläche ergibt sich dann aus


Und das ist dann ein ziemlich hässliches Integral.
Ist das so weit richtig, was ich mir überlegt habe, oder ist das vielleicht gar keine Untermannigfaltigkeit, oder ist die Parametrisierung falsch oder muss ich vielleicht über eine andere Funktion integrieren.

Würd mich freuen, wenn da mal jemand drüber guckt

Danke
LG
Lucas
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deiner Rechnung habe ich keinen Fehler gefunden. Das r-Integral liefert



Das -Integral ergibt einfach den Faktor .
LucasS. Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.
Dass das theta-Integral 2pi ergibt, ist klar.
Die Nutzung einer Tabelle war in diesem Fall aber leider nicht gesttet.
Man hätte das aber bestimmt auch mit partieller Integration oider so herausgefunden...
Mirt war es aber auch erstmal nur wichtig zu wissen, ob der Ansatz richtig war :-)

Ich möchte trotzdem nochmal kurz etwas tiefer gehend nachfragen.
Woran sieht man denn genau, dass es sich bei einer Menge um eine Untermannigfaltigkeit handelt?
Liegt es daran, dass die Bedingung für die Punkte, die in der Menge liegen durch eine Gleichung gegeben sind und damit quasi eine eine Oberfläche definieren?

Oder etwas mathematischer gesprochen: Ist das desewegen eine Untermaniigfaltigkeit, weil die Menge eigentlich eine Nullmenge im IR^3 ist?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begriff "Mannigfaktigkeit" ist ziemlich kompliziert, wenn man ihn ganz genau definieren will.

Volkstümlich ausgedrückt ist eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit eine Teilmenge des n-dimensionalen Raumes, die man mit Parametern beschreiben kann

Der Paraboloid in deiner Aufgabe ist eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, weil man zu dessen Beschreibung zwei Parameter benötigt. Er ist eine Untermannigfaltgkeit des Raumes R³, weil er eine Teilmenge des R³ ist. Eine Vollkugel ist eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit, weil man 3 Parameter benötigt usw.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist dadurch gekennzeichnet, dass man an jedem Punkt einen Tangentialraum anlegen kann (z.B. eine Tangentialebene an einen Paraboloid oder eine Tangente an eine Kurve. Letztere ist eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit, weil sie nur einen Parameter erfordert.
LucasS. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so weit habe ich das auch verstanden. Aber wenn ich so eine Aufgabe in der Klausur sehe, kann ich ja nicht erstmal prüfen, ob ich an jedem Punkt einen Tangentialraum anlegen kann oder so. Irgendwie muss man doch sofort sehen könen, dass es sich um eine Untermannigfaltigkeit handelt, oder nicht?
Nachdem ich mir die Menge aufgemalt hatte, dachte ich mir ja auch irgendwie schon, dass es eine Untermannigfaltigkeit ist. Aber woran man das jetzt direkt konkret sieht, das würde ich noch gerne wissen.
Gibt es da so eine wenig mathematische Vorstellung, an die ich mich halten kann? (Wie z.B. jede Menge, aus dem IR^3, die ich zweidimensional ausrollen kann, ist eine 2dim-Untermannigfaltigkeit) Das wäre ja hier in der AUfgabe gegeben, weil man die Oberfläche einer Schale berechnen soll und man diese 2dimensional "ausrollen" kann.

Danke für Hinweise ;-)

LG
Lucas
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Entscheidend ist, dass eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit genau Parameter hat, durch deren Wahl man jeden Punkt der Mannigfaltigkeit erreichen kann. Diese m-Parameter kann man als ebenen Bereich im im euklidischen "Parameter-Raum" auffassen. In diesem Sinne ist eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit eine Abbildung eines m-dimensionalen ebenen "Parameter-Raumes" (wo also keine Raumkrümmung u.ä. herrscht) auf eine Teilmenge des n-dimensionalen Raumes, wo es Raumkrümmungen und ähnliche Effekte geben kann.

Beispiel:
Ein Paraboloid ist eine Abbildung eines ebenen Rechteckes im 2-dimensionalen "Parameterraum" auf eine gekrümmte Fläche im R³.
 
 
LucasS. Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,
Danke für die Hilfe :-)
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