Temperaturabnahme (Butter und Margarine im Kühlschrank)

03.02.2015, 10:25

Sarahlie

Temperaturabnahme (Butter und Margarine im Kühlschrank)

Meine Frage:
Ein Stück Butter (24,5°C) wird in einen Kühlschrank (5,5°C) gebracht. Man kann davon ausgehen, dass die Temperaturabnahme pro Minute 12% der Differenz zwischen der Temperatur und der Kühlschranktemperatur beträgt.
1. Bestimmen Sie nach wie viel Minuten die Butter eine Temperatur von 20°C erreicht hat.
2. Ein Topf Margarine (19,6°C) wird zur gleichen Zeit in den Kühlschrank gestellt und zeigt die gleiche Temperaturabnahme. Untersuchen Sie, ob die Butter zu einem Zeitpunkt kälter sein wird als die Margarine.
3. Modellieren Sie die Temperaturkurve für den Fall, dass die Margarine eine Stunde später in den Kühlschrank gestellt wird und vergleichen Sie wiederum die Temperatur der Butter mit der der Margarine.

Meine Ideen:
Die Formel wäre doch:
F (x) = 24,5 - 5,5 × e^ -0,12×x

1. 20 = 24,5 - 5,5 × e^ -0,12×x | umformen..
1,67 = x
Würde das so Sinn machen?

2. Also hätte ja Butter die gleiche Zahl.. muss man dann in die Formel das einsetzen?
Also :
F (x)= 24,5 - 5,5 × e^ -0,12 × 1,67 (also falls die Zahl richtig ist) und
F (x)= 19,5 - 5,5 × e^ -0,12 × 1,67
Und dann gucken welcher Wert höher ist oder tiefer und so kann ich dann sagen das die Butter kälter ist oder nicht?

3. Wenn ja die 12 % pro Minute ist und ich für eine Stunde modellieren soll.. muss man dann einfach die 0,12 × 60 rechnen? Für 60 Minuten? Und dann nochmal mit der Zahl die Formel ausrechnen und dabei das x aus Aufgabe 1 verwenden? Also wenn dann stehen würde:
F (x)= 24,5 - 5,5 × e^(neue Zahl) × 1,67 ??

03.02.2015, 11:39

klarsoweit

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RE: Butter und Margarine im Kühlschrank

Zitat:

Original von Sarahlie
Die Formel wäre doch:
F (x) = 24,5 - 5,5 × e^ -0,12×x

Wie bist du jetzt auf diese Formel gekommen? Da müßte ja zum Zeitpunkt x=0 die Temperatur 19° betragen. Auch der Exponent in der e-Funktion ist fragwürdig. Und so sieht nach deiner Formel der Temperaturverlauf aus:

03.02.2015, 11:53

Dopap

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nebenbei: der Exponent -0.12 =-12% ist zu ungenau. Man sollte schon

$\begin{eqnarray*} k=-\ln(0.88)= 0.12783 \end{eqnarray*}$ verwenden, also $\begin{eqnarray*} \cdots e^{-0.12783 x} \end{eqnarray*}$

04.02.2015, 00:11

mYthos

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Nach genauerem Lesen des Aufgabentextes ergibt sich ein ganz anderes Bild.
In der Ausgangslage handelt es sich nämlich um die Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -0.12(f(x) - 5.5) \end{eqnarray*}$

Die Lösung dieser Differentialgleichung liefert die exakte (und auch bekannte) Funktion der Temperaturabnahme in Abhängigkeit von der Umgebungstemperatur:

[ Allg. lautet sie: $\begin{eqnarray*} T(t) = [T(0) - T_u] e^{-ct} + T_u \end{eqnarray*}$ ]

$\begin{eqnarray*} f(x) = 19 \cdot e^{-0,12x} + 5.5 \end{eqnarray*}$

Darin sehen wir, dass der Abnahmekoeffizient (ähnlich der Zerfallskonstante) - im Gegensatz, wie es bei der Wachstums- oder Zerfallfunktion der Fall ist -
als Prozentsatz erhalten bleibt und daher genau 0.12 beträgt, und nicht etwa 0.12783.

Essentiell ist jedoch, dass gemäß der im Aufgabentext genannten Bedingungen in dieser Funktion die Temperaturabnahme - kontinuierlich (!) - um 12% der Differenz zu 5,5° zu jedem Zeitpunkt stattfindet.

Dies hat zur Folge, dass die prozentuelle Abnahme in Bezug zur Anfangstemperatur (relative Abnahme) pro Minute keineswegs 12% beträgt, sondern deutlich weniger (anfangs ca. 8,8%). Ausserdem ändert sich die relative prozentuelle Abnahme von Minute zu Minute und wird naturgemäß geringer, je mehr sich die Temperatur des Kühlgutes der Umgebungstemperatur annähert.

Mit diesem Basiswissen wirst du nun die Aufgabenteile 1) 2) und 3) sicher lösen können.
Falls es doch noch hakt, frage einfach.

mY+

04.02.2015, 01:19

Dopap

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Vereinfacht:

Ich habe die stetige Funktion y(x)=0.88^x angesetzt. Diese ist gleich y(x)=exp(-0.1278x).

Diese Funktionen interpolieren die Werte ganzzahliger Minuten. like Zinseszins

Die AnfangsSteigung ist y'(0)=-0.1278
---------------------------------------------------------

Wenn ich es richtig verstanden habe, soll aber y'(0)=-0.12=k sein, der Proportionalitätsfaktor in der DGL.

04.02.2015, 02:35

mYthos

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Nur Letzteres ist richtig, dein Anfang greift hier nicht.
Du darfst diese Funktion nicht so wie eine einfache Zerfallsfunktion ansetzen.

Ich habe ja auch deswegen die Anmerkung

Zitat:

Darin sehen wir, dass der Abnahmekoeffizient (ähnlich der Zerfallskonstante) - im Gegensatz, wie es bei der Wachstums- oder Zerfallfunktion der Fall ist -
als Prozentsatz erhalten bleibt und daher genau 0.12 beträgt, und nicht etwa 0.12783.

geschrieben.

Also resultiert die Funktion daraus, dass die momentane Temperatur-Änderung proportional (mit dem negativen Faktor -0,12, weil es sich um einen Temperaturabfall um 12% handelt) zur Temperaturdifferenz auf die Umgebungstemperatur (5,5°) ist.

Diese Eigenschaft des Temperaturabfalls trifft (allgemein) die Funktion $\begin{eqnarray*} T(t) = [T(0) - T_u] e^{-ct} + T_u \end{eqnarray*}$ , welche bei der gegenständlichen Aufgabe anzuwenden ist.

mY+

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