1-Formen Differentialgeometrie

03.02.2015, 10:38	löwenkaffee	Auf diesen Beitrag antworten »
1-Formen Differentialgeometrie Meine Frage: Hallo, ich hab eine Frage zu 1-Formen und 2-Formen. Wir haben gelernt das die 1-Form der der abgebildete Schatten eines Vektors auf dazugehörigen Vektor ist. " One way to inspect a vector is to determine its extent or length along a given direction. For instance, we can pick some arbitrary direction ? and record the length of the shadow cast by v along ?" Also müsste ja die 1-Form ? den Betrag der orthogonalprojektion von v auf ?# sein. Es ist aber das Skalarprodukt zwischen v und ?#. Womit ich die 2-Form auch nicht verstehe, denn diese ist ja der schatten einer Fläche. Dadurch ist mir nun auch nicht ganz klar wozu ich die 1 und 2-Formen brauche. Meine Ideen: Viel drüber nachgedacht, aber auf kein Ergebnis gekommen. Achja meine Quelle Ich weiß nicht ob man verlinken darf, aber mit google und "DIGITAL GEOMETRY PROCESSING WITH DISCRETE EXTERIOR CALCULUS" findet man das skript
03.02.2015, 11:11	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz allgemein ist eine m-Form eine Abbildung, welche m Vektoren $\begin{eqnarray} \vec x_1, \vec x_2,...,\vec x_m \end{eqnarray}$ eines n-dimensionalen Raumes eine Zahl zuordnet und zwar derart, dass diese Abbildung in jedem einezlnen Argument $\begin{eqnarray} \vec x_k \end{eqnarray}$ linear ist. ----------------------------------------- Beispiel 1: Eine 1-Form ist demnach eine lineare Abbildung, welche (nur) einem beliebigen Vektor $\begin{eqnarray} \vec x_1 \end{eqnarray}$ eine Zahl zuordnet. Augrund der Linearität lässt sich diese Abbildung nur durch ein Skalarprodukt mit einem festen Vektor $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ vermitteln und lautet folglich $\begin{eqnarray} \text{Zahl}=\vec a\cdot \vec x \end{eqnarray}$ Interpretiert man den festen Vektor $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ als Kraftvektor und das Argument $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ als Weg, dann liefert die 1-Form gerade die Formel "Arbeit=Kraft mal Weg". Wählt man den festen Vektor $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ speziell als Einheitsvektor ist, dann kann man das obige Skalarprodukt (also die 1-Form) als Projektion des Vektors $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ in Richtung $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ interpretieren, also als "Schattenlänge". ------------------------------------------- Beispiel 2. Eine 2-Form ist eine lineare Abbildung, die zwei beliebige Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b \end{eqnarray}$ auf eine Zahl abbildet. Eine solche Abbildung kann wegen der Linearität nur durch eine Matrix A vermittelt werden und lautet folglich $\begin{eqnarray} \text{Zahl}=\vec a\cdot A\vec b \end{eqnarray}$ Interpretiert man z.B. die beiden Vektoren als die Seiten eines ebenen Parallelogrammes, so liefert folgende 2-Form den Flächeninhalt des Parallelogrammes $\begin{eqnarray} \text{Flächeninhalt}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ---------------------------------------------
03.02.2015, 12:03	löwenkaffee	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank

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