Maximum likelihood

03.02.2015, 14:11	Systemofacrush	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum likelihood Meine Frage: Bei einem Züchtungsexperiment treten die drei Genotypen auf DD,Dd bzw.dd mit den W'keiten $\begin{eqnarray} p^2,2p(1-p) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} (1-p)^2 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} p[0,1] \end{eqnarray}$ auf. Bei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ unabhängigen Durchführungen dieses Experiments traten die Genotypen $\begin{eqnarray} n_1,n_2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} n_3 \end{eqnarray}$ mal auf $\begin{eqnarray} ( n_1+n_2+n_3=n) \end{eqnarray}$ . Bestimmen sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung für den Parameter $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: ich glaub es ist die geometrische W'keit,weiss dennoch nicht wie ich die Likehood machen soll ist dieser Ansatz richtig? $\begin{eqnarray} L(p;x_1,...,x_n)= \prod_{i=1}^{n_1} p^2 \cdot{} \prod_{i=n_1}^{n_2} 2p(1-p)\cdot{} \prod_{i=n_2}^{n_3}(1-p)^2 \end{eqnarray}$ jetzt $\begin{eqnarray} Log(L(p;x_1,...,x_n))= Log( \prod_{i=1}^{n_1} p^2 \cdot{} \prod_{i=n_1}^{n_2} 2p(1-p)\cdot{} \prod_{i=n_2}^{n_3}(1-p)^2) \end{eqnarray}$ ist dsa richtig?
03.02.2015, 16:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, schon - allerdings sollte man sich schon bemühen, die Loglikelihoodfunktion wesentlich einfacher zu schreiben - auch und gerade in Hinblick auf weitere Vorhaben (Maximierung). EDIT: Nein, stopp, doch fehlerhaft. Die drei Produkte müssen alle bei i=1 starten, damit es stimmt.
03.02.2015, 17:50	Systemofacrush	Auf diesen Beitrag antworten »
hi okay danke $\begin{eqnarray} Log(L(p;x_1,...,x_n))= Log( \prod_{i=1}^{n_1} p^2 \cdot{} \prod_{i=1}^{n_2} 2p(1-p)\cdot{} \prod_{i=1}^{n_3}(1-p)^2) =Log( p^{2n_1} \cdot{} (2p(1-p))^{n_2}\cdot{} (1-p)^{2\cdot{}n_3}) =2n_1\cdot{}Log(p)+ n_2\cdot{}log((2p(1-p))+ 2n_3\cdot{}log((1-p)) \end{eqnarray}$ jetzt $\begin{eqnarray} (Log(L(p;x_1,...,x_n)))'= \frac{2n_1}{p}\cdot\frac{n_2\cdot(2-4p)}{(2p(1-p)} - \frac{2n_3}{1-p} \end{eqnarray}$ für extrema $\begin{eqnarray} (Log(L(p;x_1,...,x_n)))'= \frac{2n_1}{p}\cdot\frac{n_2\cdot(2-4p)}{(2p(1-p)} - \frac{2n_3}{1-p} =0 \end{eqnarray}$ nun komme ich nicht weiter wie ich umformen soll ..:/
04.02.2015, 10:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Loglikelihoodfunktion ist noch richtig, auch deren Vereinfachung - obwohl man die auch noch weiter treiben kann: $\begin{align} \log(L(p;x_1,...,x_n))= (2n_1+n_2)\log(p) + n_2\log(2) + (n_2+2n_3)\log(1-p) \end{align}$ . Wie du aber in der Ableitung auf eine derartige Produktstruktur kommst, ist rätselhaft. Tatsächlich ist einfach $\begin{align} \left( \log(L(p;x_1,...,x_n)) \right)' = \frac{2n_1+n_2}{p} - \frac{n_2+2n_3}{1-p} \end{align}$ .

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