Lösen von linearen Systemen gewöhnlicher dgl

03.02.2015, 14:35

bubble93

Lösen von linearen Systemen gewöhnlicher dgl

Meine Frage:
Könnt ihr mir ein allgemeines Lösungsschema zu folgender Aufgabe nennen?
Eine Schrittweise Lösung würde mir wunderbar weiterhelfen, da ich aufgrund einer Operation das komplette Thema DGL im Selbststudium nachholen muss.

"Lösen sie folgende Lineare Systeme gewöhnlicher DGL"

a)
$\begin{eqnarray*} x'=Ax+b(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -12 & -10 & 10 \\ 2 & 0 & -1 \\ -18 & -18 & 17 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b= \begin{pmatrix} e^{-4t} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Einsetzen von A und b in die gleichung.
und Randwertproblem lösen?
leider weiß ich nicht wie man letzteres bewerkstelligt. je ausführlicher desto besser smile

ich danke

03.02.2015, 14:54

klarsoweit

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RE: Lösen von linearen Systemen gewöhnlicher dgl
Du brauchst erstmal die Eigenwerte der Matrix, um damit ein Fundamentalsystem aufzustellen.

03.02.2015, 20:50

bubble93

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RE: Lösen von linearen Systemen gewöhnlicher dgl
ok habe ich, das wären:

-2, -1, 8

Eigenvektoren:
(-1, 1, 0)
(0, 1, 1)
(1, 0, 2)

Ist mit Fundamentalsystem eine Diagonalisierung gemeint?

Was muss ich dann machen?

Danke schonmal für die Antwort Freude

EDIT: Komplettzitat entfernt. (klarsoweit)

04.02.2015, 09:07

klarsoweit

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RE: Lösen von linearen Systemen gewöhnlicher dgl

Zitat:

Original von bubble93
Ist mit Fundamentalsystem eine Diagonalisierung gemeint?

Nein. Ein Fundamentalsystem ist eine Basis des Lösungsraums des homogenen Problems. In diesem Fall:

$\begin{eqnarray*} x_1(t) = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot e^{-2t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot e^{-t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot e^{8t} \end{eqnarray*}$

Siehe dazu auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differentialgleichung

Zur Lösung des inhomogenen Problems bietet sich die Methode der Variation der Konstanten an. Siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten

Generell würde ich dir empfehlen, daß du dir zu dem Thema geeignete Literatur zulegst.

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