Umformung LAAG

03.02.2015, 17:23	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung LAAG Meine Frage: Hallo Leute, ich verzweifle gerade an der folgenden Umformung. Es sind zwar paar Integrale drin, es scheitert bei mir aber eher an de LAAG Kenntnissen.. Also $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} ... \int_{-\infty}^{\infty} = k^{-1}exp[-\frac{1}{2}x^T\Sigma^{-1}x + t^T(x+\theta)] dx_1...dx_n \end{eqnarray}$ hierbei ist x ein Vektor, und $\begin{eqnarray} \Sigma \end{eqnarray}$ eine nxn - Matrix. Durch den Faktor $\begin{eqnarray} k^{-1} \end{eqnarray}$ wird das Ding später zu einer Dichte. Nun steht in der nächsten Zeile: $\begin{eqnarray} = \int_{-\infty}^{\infty} ... \int_{-\infty}^{\infty} = k^{-1}exp[\frac{-1}{2}(x-\Sigma t)^T \Sigma^{-1}(x-\Sigma t) dx_1...dx_n \cdot exp(t^T \theta + \frac{1}{2}t^T \Sigma) \end{eqnarray}$ Nun habe ich vorne eine Dichte (W-Theorie) also gibt das Integral 1 und es bleibt der Term, der nicht von x abhängt und aus dem Integral rausgezogen wurde. Aber die Umformung verstehe ich leider nicht. Die Dichte gehört dann ja zu der Zufallsvariablen mit der Verteilung $\begin{eqnarray} N_n(x-\Sigma t, \Sigma) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also es geht im Grunde nur um die Umformung des Integranden, so dass ich den Term rausziehen kann. Nehme mal an, hier wird geschickt die Null addiert, so dass ich später diese Verteilung/Dichte habe, aber den Trick verstehe ich nicht. Danke für die Hilfe
12.02.2015, 21:11	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung LAAG Freu mich, wenn sich das noch einer ansieht, bin noch nicht wirklich dahinter gekommen, wie die Umformung läuft..
12.02.2015, 21:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung LAAG Du hast vergessen zu erwähnen, dass $\begin{align} \Sigma \end{align}$ nicht eine beliebige quadratische Matrix ist, sondern eine Kovarianzmatrix, und damit insbesondere symmetrisch, d.h. $\begin{align} \Sigma^T = \Sigma \end{align}$ . Und nun einfach mal "ausmultiplizieren", aber aufpassen: Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ! $\begin{align} (x-\Sigma t)^T \Sigma^{-1} (x-\Sigma t) &= (x^T-t^T \Sigma^T) \Sigma^{-1} (x-\Sigma t) = x^T \Sigma^{-1} (x-\Sigma t) - t^T {\color{blue}\Sigma \Sigma^{-1}} (x-\Sigma t) \\ &= x^T \Sigma^{-1} x - x^T {\color{blue} \Sigma^{-1} \Sigma} t - t^T x + t^T \Sigma t = x^T \Sigma^{-1} x - x^T t - t^T x + t^T \Sigma t \\ &= x^T \Sigma^{-1} x - 2 t^T x + t^T \Sigma t \end{align}$ , zuletzt wurde noch genutzt, dass $\begin{align} x^T t \end{align}$ eine reelle Zahl ist, und somit als 1x1-Matrix gleich ihrer Transponierten $\begin{align} (x^T t)^T = t^Tx \end{align}$ .
13.02.2015, 08:57	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung LAAG Perfekt, vielen Dank HAL 9000 für deine tolle Hilfe

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