Streckenlängenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen

03.02.2015, 18:38

kein Name

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Streckenlängenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen

Meine Frage:
Meine Frage lautet wie folgt:
Ein Dreieck ABC wird von der Parallele EF in ein Trapez ABFE und ein Dreieck EFC zerlegt. Wie ist das Verhältnis der Strecke AE zu EC, wenn das Verhältnis von EFC zu ABFE sich wie 3 zu 7 verhält.

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ahnung, wie ich diese Aufgabenstellung lösen könnte. Deshalb ersuche ich mir (hoffentlich) gute Hilfe.

03.02.2015, 19:29

riwe

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
der Strahlensatz sollte weiter helfen

03.02.2015, 19:47

sixty-four

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen

Zitat:

Original von kein Name
Meine Frage:
Ein Dreieck ABC wird von der Parallele EF in ein Trapez ABFE und ein Dreieck EFC zerlegt.

Ich nehme mal an es soll heißen: "... von einer Parallele EF zur Basis AB in ein Tapez ..."

Ich würde das so machen:

Wenn du durch eine Parallele zur Basis ein Dreieck abschneidest, dann sind dieses Dreieck und das ursprüngliche Dreieck ähnlich. Wenn die Flächen des abgeschnittenen Dreiecks und des Restpolygons (Trapez) sich wie 3:7 verhalten, dann verhalten sich die ähnlichen Dreiecke wie 3:10.
Wenn du jetzt die Basis des ursprünglichen Dreiecks AB mit $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ und seine Höhe mit $\begin{eqnarray*} h_0 \end{eqnarray*}$ bezeichnest, die entsprechenden Größen vom abgeschnittenen Dreieck mit $\begin{eqnarray*} c_1 \text{ und } h_1 \end{eqnarray*}$ , dann gilt für die Flächen

$\begin{eqnarray*} \frac{F_0}{F_1} = \frac{c_0 h_0}{c_1 h_1} = \frac{10}{3} \end{eqnarray*}$

Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt aber auch:

$\begin{eqnarray*} \frac{c_0}{c_1}=\frac{h_0}{h_1} \end{eqnarray*}$

Diese Beziehung kannst du jetzt nutzen, um das Seitenverhältnis der ähnlichen Dreiecke zu berechnen. Dieses Verhältnis gilt dann für alle Dreiecksseiten und löst damit dein Problem.

03.02.2015, 20:00

kein Name

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Vielen Dank für die rasche Antwort.

Allerdings erschliesst sich mir noch nicht, wie ich diese Beziehung nutzen kann um die Seitenverhältnisse zu errechnen.

03.02.2015, 20:18

sulo

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Ist das eine Hausaufgabe?

03.02.2015, 20:20

sixty-four

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Wenn

$\begin{eqnarray*} \frac{c_0}{c_1} = \frac{h_0}{h_1} \end{eqnarray*}$

ist, dann kannst du überall dort, wo das Verhältnis

$\begin{eqnarray*} \frac{c_0}{c_1} \end{eqnarray*}$

in einem Ausdruck erscheint, es durch

$\begin{eqnarray*} \frac{h_0}{h_1} \end{eqnarray*}$

ersetzen.

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03.02.2015, 20:34

kein Name

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Danke jetzt hab ich es auch verstanden.

Nein, das ist keine Hausaufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.02.2015, 20:36

sulo

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Ist es dann eine Wettbewerbsaufgabe?

03.02.2015, 21:12

kein Name

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Auch nicht.
Rein aus Interesse. Hab diese aufgabe ein wenig verändert in einem alten Schulbuch gefunden.

03.02.2015, 21:19

sulo

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Alles klar. smile

smile

03.02.2015, 21:37

kein Name

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Ich hätte doch noch eine Frage:

Wenn das kleine Dreieck EFC und das Trapez ABFE im Verhältnis 3/7 stehen, stehen dann die Basen der Figuren in dem selben Verhältnis zueinander? verwirrt

verwirrt

Und falls ja, warum?

Ich sehe sonst nämlich keine andere Möglichkeit den Flächeninhalt auf eine Strecke zu übertragen.

03.02.2015, 22:15

sulo

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Die Basen können nur dann im gleichen Verhältnis wie die Strecken zueinander stehen, wenn die beiden Höhen gleich groß sind. edit: Da bin ich allerdings gedanklich bei den beiden Dreiecken, den Grund sieht man im letzten Satz. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bedenke, dass eine Fläche aus dem Produkt von 2 Größen gebildet wird, in unserem Fall Basis und Höhe.

Wie der Flächeninhalt auf die Strecken zu übertragen ist hat dir sixty-four doch sehr schön gezeigt.
Der Kniff ist, mit den beiden Dreiecken zu arbeiten, das Trapez ergibt sich dann einfach als Differen.

smile

smile

03.02.2015, 22:19

riwe

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
nein stehen sie nicht.
eine kleine Hilfe findest du im Bilderl Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.02.2015, 17:47

kein Name

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
VIelen Dank für eure Hilfe.
Ich habe aber immer noch nicht verstanden, wie ich rechnen muss um das Verhältnis der Strecken zu bekommen.

Könntet ihr mir vielleicht einen Rehcnenweg zukommen lassen? smile

smile

04.02.2015, 18:22

sixty-four

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Liest du dir denn die Beiträge nicht durch?
Wir haben doch gestern festgestellt, dass du das Verhältnis $\begin{eqnarray*} \frac{c_0}{c_1} \end{eqnarray*}$ auch durch $\begin{eqnarray*} \frac{h_0}{h_1} \end{eqnarray*}$ ausdrücken kannst, denn beide Verhältnisse sind gleich.
Jetzt suche bitte in den gestrigen Beiträgen doch mal nach einer Gleichung, die das erstgenannte Verhältnis enthält und ersetze es durch das zweitgenannte.

04.02.2015, 18:47

kein Name

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Dann forme ich die Gleichung also wie folgt um:

F0/F1=h0^2/h1^2=10/3

Dann ziehe ich die Wurzel:

WurzelF0/ WurzelF1 = h0/h1=3,2/1,7

Ist das dann das Gesuchte Verhältnis der Strecken?

Ich bin eben nicht gut in der Mathematik. Ansonsten würde ich gar nicht dieses Forum aufsuchen.

04.02.2015, 19:42

sixty-four

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Nein, das ist noch nicht das Endergebnis. Du hast jetzt erst ausgerechnet, wie sich die Seiten des kleinen Dreiecks zu denen des großen Dreiecks verhalten.
Ich kann dir aber heute nicht mehr weiterhelfen, da ich eine Störung des Netzanschlusses habe. Auf dem Smartphone möchte ich das nicht machen.
Vielleicht kann jemand anderes übernehmen.

04.02.2015, 19:44

kein Name

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen
Das wäre sehr nett. Und danke dir.

Edit: Muss ich nun eine Differenz aus dem Verhältnis des Großen dreiecks zum KLeinen ziehen?:

3.7 - 1.7 = 2

Das Verhältnis der Seiten des Trapezes und des kleinen dreiecks ist dann also nach meiner Rechnung 2/2.

Ist das wenigstens ein richtiger Ansatz?

05.02.2015, 17:13

sixty-four

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RE: Streckenlägenverhältnis mithilfe des Flächeninhalts ausrechnen

Zitat:

Original von kein Name
Das Verhältnis der Seiten des Trapezes und des kleinen dreiecks ist dann also nach meiner Rechnung 2/2.

Ist das wenigstens ein richtiger Ansatz?

Nein, das ist falsch. Du hast jetzt das Verhältnis der Strecken $\begin{eqnarray*} \overline{AC} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \overline{EC} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet. Wenn du die lange Seite mit y und die kurze mit x bezeichnest, gilt also

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} = \sqrt{\frac{10}{3}} \end{eqnarray*}$

Du willst aber das Verhältnis

$\begin{eqnarray*} \frac{y-x}{x} \end{eqnarray*}$

berechnen. Nun ist aber

$\begin{eqnarray*} \frac{y-x}{x} = \frac{y}{x}-1 = \sqrt{\frac{10}{3}}-1 \end{eqnarray*}$

Es verhält sich also die Trapezseite zur kleinen Dreiecksseite wie

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{10}{3}}-1 \end{eqnarray*}$ zu 1.

Numerisch: 0,826:1

24.02.2015, 16:27

kein Name

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Vielen Dank für deine Hilfe. Freude

Freude

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