Was kann man sich unter Varianz vorstellen?

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marin_zi Auf diesen Beitrag antworten »
Was kann man sich unter Varianz vorstellen?
Hallo

Was ist die Varianz ?
Bitte jetzt nicht sowas wie: http://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_%28Stochastik%29
Weil ich verstehe es nicht. Ich kann herumrechnen. Aber was hab ich davon.

Also Beispiel 2 Würfel und schau mir die Augenzahl an. Was kommt am häufigsten.
Dann rechne mir den Erwartungswert aus. Da kommt 7 raus.
Damit kann ich mir was vorstellen. Ich kann jetzt würfeln und würfel und würfeln und mir auf einem Blatt papier mitschreiben was gewürfelt wird. 7 kommt am häufstigen vor.

Jetzt rechne ich mir die Varianz aus. Gut ich weiß man quadriert damit das Vorzeichen weg ist.
Dann kommt da kommt dann 5,83 raus. Und was sagt mir das jetzt ?

Lauf definition ist die Varianz ein Streuungsmaß von X, d. h. ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariablen.
Was streut da wo und wie ? Oder rechnet man das nur mal aus um danach die Wurzel zu ziehen ?
Um dann mit der Standardabweichung weiter zu machen ?

Grüße
sneeper88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Varianz beschreibt die Streuung einer Zufallsvariablen UM IHREN ERWARTUNGSWERT. Was heißt das? Beispiel: Angenommen du hast irgendwoher die Daten -1, 0, 1. Dann ist deren Mittelwert 0 und die empirische Varianz 1. Die Daten -10, 0, 10 haben den selben Mittelwert aber die empirische Varianz 100. Man sieht, dass die Daten IM DURCHSCHNITT viel weiter vom Mittelwert entfernt sind.

Warum nimmt man nicht die mittlere Abweichung? Ganz einfach, diese ist in beiden Fällen 0, da sich die negativen und positven Einflüsse aufheben. Die Aussage ist also ziemlich schwach. Um die Abweichung nun unabhängig von den einzelnen Vorzeichen zu berechnen erweist es sich als sinnvoll, die Quadrate zu verwenden. Daher stammt die Varianz. Das Wurzelziehen führt dann zur Standardabweichung, welche dieselbe Einheit wie der Mittelwert hat.


Zitat:
7 kommt am häufstigen vor.


das ist richtig. Man nennt diesen Wert auch Modus. Beachte bitte, dass Modus und Mittelwert im Allgemeinen nicht identisch sind. Wenn man über Varianz spricht ist diese immer im Zusammenhang mit dem Mittelwert/Erwartungswert zu betrachten.

LG
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was kann man sich unter Varianz vorstellen ?
Zitat:
Original von marin_zi
Also Beispiel 2 Würfel und schau mir die Augenzahl an. Was kommt am häufigsten.
Dann rechne mir den Erwartungswert aus. Da kommt 7 raus.
Damit kann ich mir was vorstellen. Ich kann jetzt würfeln und würfel und würfeln und mir auf einem Blatt papier mitschreiben was gewürfelt wird. 7 kommt am häufstigen vor.

Nein, das stimmt nicht.
Der Erwartungswert gibt nur an, gegen welchen Wert die durchschnittliche Augensumme konvergieren wird, wenn die Anzahl der Versuche immer größer wird.

Dass der Erwartungswert nicht der am häufigsten auftretende Wert sein muss, sieht man z.B. beim Werfen mit nur einem Würfel: Da ist der Erwartungswert für die Augenzahl 3,5.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Einwand, dass man ja gleich die Standardabweichung berechnen und auf die Varianz (sozusagen als reine Zwischenlösung) ganz verzichten kann:

Natürlich ist die Standardabweichung anschaulicher. Dennoch wird die Varianz selber durchaus auch benötigt! Das erwähnte Würfelexperiment beispielsweise ist ja eine Zusammenfassung unabhängiger Zufallsvariablen, hier beide mit dem theoretischen Mittelwert 3,5 und der theoretischen Varianz von etwa 3,32.

Werden nun beide Zufallsvariablen zusammengefasst, addieren sich einfach die Mittelwerte zu 7 und die Varianzen zu 6,64. Mit den Standardabweichungen wäre das nicht so einfach gewesen.

Viele Grüße
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In Ergänzung zu den Anmerkungen von Steffen:

Die Standardabweichung mag die anschaulichere Größe sein, eben weil sie auf derselben Einheitenskale wie die Messwerte selbst stattfindet. Diese "Quadrateinheit" der Varianz ist gedanklich sicher schwer zu fassen. Augenzwinkern


In der Statistik besitzt die empirische Varianz (auch Stichprobenstreuung genannt) aber folgende wichtige Eigenschaft: Sie ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz der Grundgesamtheit, d.h. .

Für die empirische Standardabweichung gilt das in Bezug auf die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht, d.h. im allgemeinen ist (die Jensensche Ungleichung sagt genauer ).
marin_zi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sneeper88
Hallo,

die Varianz beschreibt die Streuung einer Zufallsvariablen UM IHREN ERWARTUNGSWERT. Was heißt das? Beispiel: Angenommen du hast irgendwoher die Daten -1, 0, 1. Dann ist deren Mittelwert 0 und die empirische Varianz 1. Die Daten -10, 0, 10 haben den selben Mittelwert aber die empirische Varianz 100. Man sieht, dass die Daten IM DURCHSCHNITT viel weiter vom Mittelwert entfernt sind.


Ich stelle die Frage mal anderes. Was sagt mir jetzt 1 und 100 ?
Wo sehe ich das ? Das sind ja quadratische Werte.
 
 
marin_zi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was kann man sich unter Varianz vorstellen ?
Zitat:

Nein, das stimmt nicht.
Der Erwartungswert gibt nur an, gegen welchen Wert die durchschnittliche Augensumme konvergieren wird, wenn die Anzahl der Versuche immer größer wird.

Dass der Erwartungswert nicht der am häufigsten auftretende Wert sein muss, sieht man z.B. beim Werfen mit nur einem Würfel: Da ist der Erwartungswert für die Augenzahl 3,5.


Wie bitte ? Jetzt kenn ich mich gar nicht mehr aus ? traurig
Sagt das nicht daselbe aus ?

Und wieso ist die Augenzahl 3,5 ? Da kommt doch alles gleich oft vor ?
sneeper88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von marin_zi
Zitat:
Original von sneeper88
Hallo,

die Varianz beschreibt die Streuung einer Zufallsvariablen UM IHREN ERWARTUNGSWERT. Was heißt das? Beispiel: Angenommen du hast irgendwoher die Daten -1, 0, 1. Dann ist deren Mittelwert 0 und die empirische Varianz 1. Die Daten -10, 0, 10 haben den selben Mittelwert aber die empirische Varianz 100. Man sieht, dass die Daten IM DURCHSCHNITT viel weiter vom Mittelwert entfernt sind.


Ich stelle die Frage mal anderes. Was sagt mir jetzt 1 und 100 ?
Wo sehe ich das ? Das sind ja quadratische Werte.


Das sagt dir nur, dass die Varianz größer ist für 100. Die Daten streuen also weiter um den Mittelwert. Es ist schwierig anschaulich zu beschreiben, was eine Varianz von 100 oder 1 bedeutet. Eine absolute Aussage ist mir nicht bekannt.
sneeper88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was kann man sich unter Varianz vorstellen ?
Zitat:
Original von marin_zi
Zitat:

Nein, das stimmt nicht.
Der Erwartungswert gibt nur an, gegen welchen Wert die durchschnittliche Augensumme konvergieren wird, wenn die Anzahl der Versuche immer größer wird.

Dass der Erwartungswert nicht der am häufigsten auftretende Wert sein muss, sieht man z.B. beim Werfen mit nur einem Würfel: Da ist der Erwartungswert für die Augenzahl 3,5.


Wie bitte ? Jetzt kenn ich mich gar nicht mehr aus ? traurig
Sagt das nicht daselbe aus ?

Und wieso ist die Augenzahl 3,5 ? Da kommt doch alles gleich oft vor ?


Oh je, da sind die Begriffe noch nicht klar! Also: du würfeslt 8 mal mit einem Würfel. Es kam vor 5, 2, 4, 6, 4, 3, 2, 4. Der häufigste Wert der aufgetreten ist, war 4 (3-mal). Der Mittelwert dieser Stichprobe ist (5+2+4+6+4+3+2+4)/8 = 3,75.

Der Erwartungswert eines fairen Würfels ist aber immer gleich: 1/6*(1+2+3+4+5+6) = 3,5. Wenn du also ganz oft werden würdest, erwartest du, dass der Mittelwert gegen 3,5 strebt!
marin_zi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was kann man sich unter Varianz vorstellen ?
Zitat:

Oh je, da sind die Begriffe noch nicht klar! Also: du würfeslt 8 mal mit einem Würfel. Es kam vor 5, 2, 4, 6, 4, 3, 2, 4. Der häufigste Wert der aufgetreten ist, war 4 (3-mal). Der Mittelwert dieser Stichprobe ist (5+2+4+6+4+3+2+4)/8 = 3,75.

Der Erwartungswert eines fairen Würfels ist aber immer gleich: 1/6*(1+2+3+4+5+6) = 3,5. Wenn du also ganz oft werden würdest, erwartest du, dass der Mittelwert gegen 3,5 strebt!


Ach darum gehts beim Erwartungswert. Und um so mehr ich Würfle um so näher geht es in Richtung 3,5 ?
Gut das hab ich dann wirklich noch nicht verstanden.
Jetzt verstehe ich auch den Hinweis, dass es der Mittelwert ist wenn die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch die selbe ist.

Mit diesem Erwartungswert kann man dann sich z.B überlegen ob man auf lange Sicht gewinnt oder verliert.

Und die Standardabweichung ist die "mittlere Abweichung" um diesen Erwartungswert ?
Also Summe aller Abweichungen(ohne Vorzeichen) durch die Anzahl .
marin_zi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Zum Einwand, dass man ja gleich die Standardabweichung berechnen und auf die Varianz (sozusagen als reine Zwischenlösung) ganz verzichten kann:

Natürlich ist die Standardabweichung anschaulicher. Dennoch wird die Varianz selber durchaus auch benötigt! Das erwähnte Würfelexperiment beispielsweise ist ja eine Zusammenfassung unabhängiger Zufallsvariablen, hier beide mit dem theoretischen Mittelwert 3,5 und der theoretischen Varianz von etwa 3,32.

Werden nun beide Zufallsvariablen zusammengefasst, addieren sich einfach die Mittelwerte zu 7 und die Varianzen zu 6,64. Mit den Standardabweichungen wäre das nicht so einfach gewesen.

Viele Grüße
Steffen


Auf was bezieht siche "beide mit dem theoretischen Mittelwert" ?
Welche beiden ? smile Einmal der Versuch mit 1 Würfel und dann mit 2 Würfel verglichen ? Das ging mir zu schnell ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von marin_zi
Zitat:
Original von Steffen Bühler
Das erwähnte Würfelexperiment beispielsweise ist ja eine Zusammenfassung unabhängiger Zufallsvariablen, hier beide mit dem theoretischen Mittelwert 3,5 und der theoretischen Varianz von etwa 3,32.


Auf was bezieht siche "beide mit dem theoretischen Mittelwert" ?


Du hast ja bei Deinem Würfeln zwei Würfel gleichzeitig geworfen oder es Dir zumindest vorgestellt, oder?

Ich aber habe zweimal getrennt voneinander mit einem Würfel geworfen. Für ein einzeln betrachtetes Experiment ist dann der theoretische Mittelwert eben 3,5. Wenn Du z.B. tausendmal wirfst, ist der Erwartungswert für die Summe aller Augen 3500.

Und diese 3,5 kannst Du eben addieren, egal ob Du die zwei Würfel gleichzeitig wirfst, oder ein Jahr dazwischen verstreichen lässt. Dasselbe gilt dann für die Varianz.

Viele Grüße
Steffen
marin_zi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Ich aber habe zweimal getrennt voneinander mit einem Würfel geworfen. Für ein einzeln betrachtetes Experiment ist dann der theoretische Mittelwert eben 3,5. Wenn Du z.B. tausendmal wirfst, ist der Erwartungswert für die Summe aller Augen 3500.

Und diese 3,5 kannst Du eben addieren, egal ob Du die zwei Würfel gleichzeitig wirfst, oder ein Jahr dazwischen verstreichen lässt. Dasselbe gilt dann für die Varianz.

Viele Grüße
Steffen


Hi

Achso das war gemeint ok klar.
Ok es war wohl wirklich so, ich hab eigentlich den Erwartungswert noch gar nicht richtig verstanden.
Bzw mir darunter etwas ganz was anderes vorgestellt. Jetzt macht das ganze mehr Sinn.
Danke für die Aufklärung Big Laugh

Grüße
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