Integration eines Vektorfeldes über einer Kurve

04.02.2015, 12:49

LucasS.

Integration eines Vektorfeldes über einer Kurve

Hallo zusammen,
Ich sitze gerade über einer Aufgabe aus einer Probeklausur für Mathe 3 für Physiker und hänge fest.
Die Aufgabe ist diese:
Berechnen Sie das Integral $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \vec{F} *\, d\vec{s } \end{eqnarray*}$ vom Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec{F}=(2y^2, x-z, x+z) \end{eqnarray*}$ über der Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma : [0,1] \Rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=(t^2, t, t^3) \end{eqnarray*}$ .

Was ich mir dazu gedacht habe ist folgendes:
Die Kurve ist eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit im $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ .
Über diese Untermannigfaltigkeit muss ich integrieren.
Die Parametrisierung ist schon gegeben. Sie ist:
$\begin{eqnarray*} \gamma(t)=\begin{pmatrix} t^2 \\ t \\ t^3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um jetzt das Vektorfelf $\begin{eqnarray*} vec{F} \end{eqnarray*}$ über der Kurve zu integrieren, muss ich zum Einen die Wurzel der Gramsche Determinante $\begin{eqnarray*} \sqrt{g(t)} \end{eqnarray*}$ ausrechnen und außerdem das Vektorfeld mit der Karte verknüpfen.
Es ist: $\begin{eqnarray*} \sqrt{g(t)}=||\frac{d\gamma(t)}{dt}|| =||\begin{pmatrix} 2t \\ 1 \\ 3t^2 \end{pmatrix} ||=\sqrt{4t^2+1+\frac{t^4}{9}} \end{eqnarray*}$
Und
$\begin{eqnarray*} \vec{F}(\gamma(t))=6t^2 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \vec{F}=(2y^2, x-z, x+z) =2y^2+x-z+x+z=2y^2+2x \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste man das Integral berechnen aus
$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \vec{F} *\, d\vec{s} = \int_\gamma \! \vec{F}(\gamma(t)) * \sqrt{g(t)} \, dt = \int_0^1 6t^2 * \sqrt{4t^2+1+\frac{t^4}{9}} \, dt = 6\int_0^1 \sqrt{4t^6+t^4+\frac{t^8}{9} } \end{eqnarray*}$ .

Das ist ziemlich unschön zu rechnen. Ich glaube darum, dass ch irgendwo einen Fehler gemacht habe. Wenn ich einen Tipp abgeben soll, dann würde ich sagen, dass der Fehler da liegt, wo ich das Vektorfeld mit der Karte verknüpft habe. Ich bin mir nicht sicher, dass ich den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{F} \end{eqnarray*}$ einfach so in eine Gleichung umformen kann, so wie ich das oben gemacht habe.
Aber vielleicht ist auch schon der ganze Ansatz mit der Untermannigfaltigkeit falsch.

Wäre schön, wenn mir jemand sagen kann, was ich anders machen muss.

LG
Lucas

04.02.2015, 13:32

klarsoweit

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RE: Integration eines Vektorfeldes über einer Kurve
Das ist ein Kurvenintegral zweiter Art, das heißt, du mußt das Integral $\begin{eqnarray*} \int_a^b F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) ~dt \end{eqnarray*}$ bilden. smile

Zitat:

Original von LucasS.
Und
$\begin{eqnarray*} \vec{F}(\gamma(t))=6t^2 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \vec{F}=(2y^2, x-z, x+z) =2y^2+x-z+x+z=2y^2+2x \end{eqnarray*}$

Eigentlich hättest du auch merken müsse, daß das ziemlich komisch ist, denn F ist eine vektorwertige Funktion.

04.02.2015, 14:19

LucasS.

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Ja, dass das ziemlicher Quatsch ist, war mir ja auch schon aufgefallen. Darum sagte ich ja auch bereits in meinem ersten Post, dass da wahrscheinlich der bzw. ein Fehler liegt.

Ok, wenn ich das so mache, wie du es sagst, dann wird das ja ziemlich einfach.

$\begin{eqnarray*} \gamma^{'}(t)=\begin{pmatrix} 2t \\ 1 \\ 3t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{F}(\gamma(t))=\begin{pmatrix} 2t^2 \\ t^2-t^3 \\ t^2+t^3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^{1} \! \vec{F}(\gamma(t))*\gamma^{'}(t) \, d\vec{s} = \int_0^{\pi/2} \! 3t^5+3t^4+3t^3+t^2 \,dt = 10 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Gruß,
Lucas

04.02.2015, 14:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von LucasS.
$\begin{eqnarray*} \int_0^{1} \! \vec{F}(\gamma(t))*\gamma^{'}(t) \, d\vec{s} \end{eqnarray*}$

So ist es richtig: $\begin{eqnarray*} \int_0^{1} \! \vec{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma^{'}(t) ~dt \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von LucasS.
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2} \! 3t^5+3t^4+3t^3+t^2 \,dt = 10 \end{eqnarray*}$

Müßte die obere Grenze nicht 1 sein? Und wie du dann integriert hast, ist mir auch nicht klar. verwirrt

04.02.2015, 15:20

LucasS.

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Ja klar. Die obere Grenze ist 1. Die Integration habe ich irgendwie vergessen Hammer

Also richtig müsste da dann 141/60 stehen.

04.02.2015, 16:27

Hubertus Albers

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Zitat:

richtig müsste da dann 141/60 stehen.

131/60. Wird eigentlich (n)irgendwo in der Aufgabenstellung was von "Weg(un)abhängigkeit" erwähnt?

04.02.2015, 17:13

LucasS.

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Nein, Wegunabhängigkeit wird nirgend erwähnt. Das was ich oben gepostet habe ist der original Wortlaut aus der Aufgabe.

Was würde mir die Weg(un)abhängigkeit denn veraten?

06.02.2015, 09:55

Hubertus Albers

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Weg(un)abhängigkeit

Zitat:

Was würde mir die Weg(un)abhängigkeit denn veraten?

Wegabhängigkeit des Vektorfeldes könnte der Grund für eine Abweichung von Ergebnissen sein, also z. B. wie oben 131 oder 141 je nach Weg. Aber ich lerne das gerade selber erst und nur, wenn ich das richtig verstanden habe, dann weiß ich z. B. schon bevor ich da anfange zu rechnen: Bei Wegunabhängigkeit muss egal, woher der Integrationsweg verläuft, das Integrationsergebnis dasselbe sein, solange der Anfangs- und Endpunkt der Kurve gleich bleiben. Im besonderen Fall, dass man über einen geschlossenen Weg integriert, kommt bei Wegunabhängigkeit für das Integral Null raus. Wenn man sich also vorher eine Wegunabhängigkeit beim Vektorfeld ausgerechnet hat, kann man sich die eigentliche Integration sparen, weil man dann schon weiß, dass das Integral Null sein muss. Rechnerisch feststellen kann man die Wegunabhängigkeit, indem man den Rotationsoperator auf das Vektorfeld anwendet. Genau dann und nur dann, wenn sich dabei der Nullvektor ergibt, bedeutet das Wegunabhängigkeit. Kann das jemand anders so bestätigen?

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