Ax=0 berechnen

04.02.2015, 17:28

balance

Ax=0 berechnen

Hallo, ein simples Problem:

Sei A eine der folgenden (ich schreib hier nur eine hi nals Bsp.) Matrizen über R. Bestimmen Sie alle Lsg. der Gleichungen Ax=0 für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$

Es sind nicht bei allen Beispielen die Zeilen lin. abhängig.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}6 & 3 & -9 \\2 & 1 & -3 \\-4 & -2 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a \\b \\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich würde nun das machen:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix}6a + 3b - 9c = 0\\2a + 1b - 3c = 0\\-4a - 2b * 6c = 0\end{matrix} \end{eqnarray*}$

Ich kriege z.B.

$\begin{eqnarray*} 2a + 1b + -3c = 0 \end{eqnarray*}$ Ich kann nun natürlich erraten, dass $\begin{eqnarray*} (0,0,0) \end{eqnarray*}$ oder ein vielfaches von $\begin{eqnarray*} (1,1,1) \end{eqnarray*}$ die Gl. löst, aber naja, ich will es ja mit math Präzision lösen. Ich weis ja nicht, obs nicht noch andere Lsg. gibt.

Ich weis nich, irgendwie hab ich grad nen Hänger oder so.

04.02.2015, 17:41

Iorek

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Stichwort: Gaußalgorithmus.

(Übrigens sollte es in deiner dritten Gleichung wohl eher $\begin{eqnarray*} -4a-2b+6c=0 \end{eqnarray*}$ heißen.)

04.02.2015, 18:04

balance

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Ja, das meinte schon jemaand aber der Gauss ALgorithmus bringt mich auf eben das genannte Ergebnis. Ich bilde mir mein Gleichungssystem und eliminiere dann was geht, probiere es auf 1 variable zu eliminieren und dann habe ich z.b. c, dann resubstiution. Das klappt aber nicht, wenn die Gleichungen blos Vielfach sind.

Oder ich versteh echt nicht was mit Gauss Algorithmus gemeint ist.

Für mich ist das: http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsc...ationsverfahren

04.02.2015, 18:31

Iorek

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Warum sollte das in diesem Fall nicht klappen? verwirrt

Wenn die Gleichungen Vielfache voneinander sind, entstehen eben Nullzeilen. Es gibt dann keine eindeutig Lösungen sondern von einem Parameter abhängige; an dem Verfahren ändert sich aber nichts, der Gaußalgorithmus lässt sich wunderbar einsetzen.

04.02.2015, 18:39

balance

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Also:

1. Ich erstelle mein Gleichungssystem (Die 3 Gleichungen in meinem Fall)
2. Ich löse es, wie mans schon 100mal in der Schule gemacht hat. Ich bekomme $\begin{eqnarray*} 2a + 1b + -3c = 0 \end{eqnarray*}$ . Ich errate die Lösungen (0,0,0) und Vielfache von (1,1,1). Kann ich jetzt sagen, dass sind alle möglichen Lösungen? Nein, kann ich nicht, da ichs ja bloss erraten habe. Weiter eLösung wäre z.B. Vielfaches von (0,3,1).

Ich meine, bei einem andere Gleichungssystem, wo die Gleichungen nicht bloss irgendwelche vielfachen voneinander sind, dkriegt man eine explizite Lösung. a=2, b=3 und c =5, oder so. (Willkürlich hat jetzt nichts mit dem Bsp. zu tun).

Reduziert man das Gl. System mittels Gauss auf 1 Gleichung und guck es dann einfach solange an, bis man denkt, man hat alle Lösungen?

04.02.2015, 19:02

Iorek

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Nein, einfach nur raten macht man natürlich nicht. Nachdem man die Nullzeilen erhalten hat, führt man die notwendigen Parameter ein und führt dann den Gaußalgorithmus weiter durch.

In dem Fall, dass die Gleichungen Vielfache voneinander sind, hat man ja ein unterbestimmtes Gleichungssystem. Da kann es dann keine eindeutige Lösung geben.

04.02.2015, 19:27

balance

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Okay, ich glaub ich habs. Im Prinzip genau das was ich im Eingangspost gemacht habe. Die Lösung kriegt man aber schlicht nur durch "raten" bzw. alle Möglichkeiten im Kopf durchgehen, kriegt. Was bei grossen LGS ein Ding der Unmöglichkeit ist, aber egal. Macht Sinn, danke.

04.02.2015, 19:42

Iorek

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Hast du meine Beiträge eigentlich gelesen oder geflissentlich ignoriert? böse

Zitat:

Original von Iorek
Nein, einfach nur raten macht man natürlich nicht. Nachdem man die Nullzeilen erhalten hat, führt man die notwendigen Parameter ein und führt dann den Gaußalgorithmus weiter durch.

18.02.2015, 15:13

balance

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hmm, war wohl sehr im stress. Du sagst also, das Gleichungssystem hat keine eindutige Lösung da die Gleichungen ja Vielfache voneinander sind?

Ich blibe bei dem erraten weil ich nicht sehe wie man das lösen kann. Weis nicht mehr genau, was ich dazuamls dachte. Jedenfalls kommt die Verwirrung hiervon:

Die Lösung ist $\begin{eqnarray*} L=\{\lambda (1,1,1)^T + \mu (0,3,1)^T | \lambda, \mu \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Wie ich das auf reinem mathematisch sauberem Wege kriegne soll ist mir nicht bekannt. (Dass alle Vielfachen funktionieren, ist klar, wie man aber auf diese Vektoren kommt, ist mir schleierhaft, zumal ich ja nichts erahnen/raten darf sondern es einen "expliziten" Lösungsweg gibt)

Du sagst: GLeichungssystem lösen bis ich eine NUllzeile habe, ich nehme an, dass ist eine Zeile, die nur aus Nullen besteht. Gut, das hat mna ja fix. Dann soll ich die Parameter einfügen. Welche Parameter? Ich habe dann einfach 2 Gleichungen mit 3 Variablen, also unterbestimmt. Wie soll ich da auf eine Lösung kommen?

18.02.2015, 15:22

klarsoweit

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RE: Ax=0 berechnen

Zitat:

Original von balance
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}6 & 3 & -9 \\2 & 1 & -3 \\-4 & -2 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a \\b \\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach 2 kleinen Umformungen bleibt nur die 1. Zeile (bzw. die 1. Gleichung) übrig. In diesem Fall kann man für die Variablen b und c Parameter nehmen. Welche Parameter im allgemeinen zu nehmen sind, beantwortet ebenfalls das Gauß-Verfahren.

18.02.2015, 17:01

balance

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Ja, mir ist klar dass ich dieses GLS auf eine einzige GL reduzieren kann.

Dann habe ich z.B. $\begin{eqnarray*} 6a+3b-9c=0 \end{eqnarray*}$ Wie soll ich das lösen?

Ich verstehe nicht wie man das Gauss Verfahren auf eine einzige Gleichung anwenden will. Das wurde jetzt schon paarmal gesagt und es sollte klar sein, dass ich die Anwedung vom Guass Verfahren für eine einzige Gleichung nicht verstehe. Daher kann ich auch keine Parameter für c und b herausfinden.

Für mich ist eine Gleichung mit 3 Unbekannten ohne weiter Glecihungen ein unlösbares Problem.

Für mich besteht das Gauss Verfahren in: 1. Matrix auf Zeilenstufenform bringen, einsetzen, lösen, fertig. Für unterbestimmte Gleichungen sehe ich keinen Lösungsweg, was hier, in meinen Augen, absolut der Fall ist.

Daher wäre ein ich dankbar für einen etwas konkreteren Hinweis.

19.02.2015, 08:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von balance
Für mich besteht das Gauss Verfahren in: 1. Matrix auf Zeilenstufenform bringen, einsetzen, lösen, fertig. Für unterbestimmte Gleichungen sehe ich keinen Lösungsweg, was hier, in meinen Augen, absolut der Fall ist.

Da kennst du (warum auch immer) das Gauß-Verfahren leider nur unvollständig.

Zitat:

Original von balance
Daher kann ich auch keine Parameter für c und b herausfinden.

Da gibt es nichts herauszufinden. Du mußt einfach nur für diese Variablen Parameter setzen und dann die Gleichung nach a auflösen. Oder du beherzigst dieses generelle Verfahren (das auch Teil des Gauß-Verfahrens ist):

Erstmal brauchen wir den Rang der Matrix. Dieser ist "Anzahl der Spalten minus Anzahl der Nicht-Nullzeilen". Der Rang gibt dir an, wieviel freie Variablen (= Parameter) du hast. In diesem Fall also 2. Wie bestimmt man nun bei einem GLS (auch eine einzige Gleichung kann als GLS aufgefaßt werden) die frei wählbaren Variablen?

Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt. Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.

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