Trägheitsmoment einer Doppelpyramide

04.02.2015, 17:35	LucasS.	Auf diesen Beitrag antworten »
Trägheitsmoment einer Doppelpyramide Hallo, Dieses mal habe ich eine Aufgabe, bei der es schon beim Ansatz scheitert. Die Aufgabe lautet so: Betrachten Sie die Doppelpyramide P, deren Eckpunkte im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ gegeben sind durch die Punkte (1,0,0),(-1,0,0),(0,1,0),(0,-1,0),(0,0,1),(0,0,-1). Berech- nen Sie das Integral $\begin{eqnarray} \int_P \! (x^2+y^2) \, dx dy dz \end{eqnarray}$ (Dies ist das Trägheitsmoment von P bei Rotation um die z-Achse.) _________________________________________ Ich habe erst überlegt, ob man da mit dem kleinen Satz von Fubini ran gehen kann, davon aber schnell Abstand genommen. In der Vorlesung wurd irgendwann man eine Formel für das Trägheitsmoment eines Rotationskörpers hergeleitet. Und da dieses Integral, welches zu berechnen ist, ja das Trägheitsmoment der Doppelpyramide bei Rotation um die z-Achse ist, müsste ich damit ja weiter kommen. Die Formel sieht folgender Maßen aus: $\begin{eqnarray} \Theta = \frac{\pi}{2}\mu \int_a^b \! f(z)^4 \, dz \end{eqnarray}$ wobei gilt: $\begin{eqnarray} x^2+y^2\leq f(z)^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z\in [a,b] \end{eqnarray}$ Also muss ich jetzt wohl eine Funktion $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ finden, die die Doppelpyramide beschreibt, oder? Dann wäre die Aufgabe wahrscheinlich ziemlich einfach. Aber ich habe wohl gerade einen Knoten im Gehirn. Wie sieht diese Funktion $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ aus??? Hat jemand eine Idee? LG Lucas
05.02.2015, 11:29	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne nur das Trägheitsmoment derjenigen Hälfte der Doppelpyramide, welche oberhalb der xy-Ebene liegt. Diese Hälfte ist eine einfache quadratische Pyramide mit der Höhe h=1 und der Kantenlänge $\begin{eqnarray} a=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Am Ende musst du das so berechnete Trägheitsmoment natürlich mit 2 multiplizieren, also $\begin{eqnarray} J=2\cdot \underbrace{\int (x^2+y^2)\,dxdydz}_{\text{einfache Pyramide}} \end{eqnarray}$ Zur Parametrisierung der Pyramide folgende Überlegung: Wenn man der einfachen Pyramide beim Wert z die Spitze abschneidet, so ist die Schnittfläche ein Quadrat mit der Kantenlänge $\begin{eqnarray} \tilde a=\sqrt{2}\cdot (1-z) \end{eqnarray}$ . Folglich variieren auf so einer Schnittfläche die x- und y-Werte in folgenden identischen Intervallen $\begin{eqnarray} x \in [-\tfrac{\sqrt{2}}{2} (1-z);+\tfrac{\sqrt{2}}{2} (1-z)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y \in [-\tfrac{\sqrt{2}}{2} (1-z);+\tfrac{\sqrt{2}}{2} (1-z)] \end{eqnarray}$ Das sind genau die Integrationgrenzen für das x- und y-Integral. Die Integrationsgrenzen des z-Integrals lauten $\begin{eqnarray} z \in [0;1] \end{eqnarray}$ , denn die Höhe der Pyramide ist z=1. Somit ergibt sich folgendes Integral $\begin{eqnarray} J=2\cdot \int_{z=0}^{1}\int_{y=-\tfrac{\sqrt{2}}{2} (1-z)}^{\tfrac{\sqrt{2}}{2} (1-z)}\int_{x=-\tfrac{\sqrt{2}}{2} (1-z)}^{\tfrac{\sqrt{2}}{2} (1-z)}(x^2+y^2)\,\,dxdydz \end{eqnarray}$
05.02.2015, 13:38	LucasS.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ehos, Danke für die Antwort. So etwas habe ich mir auch schon gedacht. Man müsste dann nur nachweisen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} (x^2+y^2) \end{eqnarray}$ auch in den beiden Teilen (also der oberen und der unteren Pyramide) symmetrisch ist. Denn sonst kann man die Menge, über die integriert wird, ja ncht einfach aufteilen. Ich denke, dass aber einfach das Argument dafür ausreicht, dass die Funktion $\begin{eqnarray} (x^2+y^2) \end{eqnarray}$ so eine Art Schale darstellt, die an der x-y-Ebene gespiegelt ist. Diese Überlegung etwas weiterführend, kann man ja auch sich nur einen Oktanden ansehen und das Egebnis dann mit 8 multiplizieren. Denn so eine Schale ist ja auch in jedem Oktanden gleich. Dann wird die Integration noch ein ganzes Stück einfacher. Nämlich $\begin{eqnarray} 8\int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{1-x} \int_{z=0}^{1-x-y} \! (x^2+y^2) \, dz dy dx \end{eqnarray}$ Und da kommt dann $\begin{eqnarray} \frac{8}{30} \end{eqnarray}$ raus $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$

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