Grenzwert einer unendlichen Reihe

Neue Frage »

04.02.2015, 19:15	MatheUni123	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer unendlichen Reihe Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage zur Bestimmung des folgenden Grenzwertes: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{5k}{3^{k}} \end{eqnarray}$ Zunächste habe ich das Quotientenkriterium angewendet: Meine Ideen: Zunächste habe ich das Quotientenkriterium angewendet: $\begin{eqnarray} \frac{5(k+1)3^{k} }{3^{k+1}5k } <br /> <br /> = \frac{1}{3}+\frac{1}{3k} \end{eqnarray}$ Der zweite Bruch strebt gegen null, es bleibt 1/3 übrig, woraus man schließen kann, dass die Reihe konvergent ist. Aber wie komme ich nun auf den Grenzwert? Ich habe etwas von Potenzreihe gelesen, weiß aber nicht wie ich dies anwenden soll?
04.02.2015, 19:21	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm die Formel für die geometrische Reihe und differenziere diese. Nach ein paar Umformungen kannst du das dann hier verwenden.
04.02.2015, 19:42	MatheUni123	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, bin mir nicht sicher, ob ich das verstehe. Also bei der geom. Reihe hätte ich ja die Form $\begin{eqnarray} \frac{a_{0} }{(1-q) } \end{eqnarray}$ Das jetzt ableiten? $\begin{eqnarray} \frac{a_{0} }{(1-q)^{2} } \end{eqnarray}$ Und dann mein jetztiges Ergebnis umformen?
04.02.2015, 19:44	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest die kompletten Gleichungen aufschreiben, sonst bringt dir das überhaupt nichts.
04.02.2015, 19:48	MatheUni123	Auf diesen Beitrag antworten »
Versthe nicht, worauf du hinaus willst? Welche komplette Gleichung?
04.02.2015, 19:53	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur geometrischen Reihe fällt dir doch bestimmt nicht nur der Term $\begin{eqnarray} \frac{a_{0} }{(1-q) } \end{eqnarray}$ ein. Ich dachte da an $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty q^k =\frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|q\|<1 \end{eqnarray}$ .
Anzeige

04.02.2015, 19:59	MatheUni123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar, aber wie kann ich mein bisheriges Ergebnis in diese Form, sprich die Ableitung, überführen?
04.02.2015, 20:01	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib doch erstmal, was du erhältst, wenn du die Gleichung, die ich aufgeschrieben habe, ableitest.
04.02.2015, 20:08	MatheUni123	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} kq^{k-1}=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$
04.02.2015, 20:09	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Links fehlt das Summenzeichen, die rechte Seite stimmt auch nicht...
04.02.2015, 20:11	MatheUni123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Summenzeichen fehlt, rechts hat die Formatierung wohl nicht hinbekommen, ist natürlich 1/(1-q)^2, wie oben schon mal ausgerechnet
04.02.2015, 20:14	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann kannst du jetzt die Reihe, die du berechnen willst, so umformen, dass sie von der Struktur her genau so aussieht wie die Reihe auf der linken Seite der Gleichung.
04.02.2015, 20:17	MatheUni123	Auf diesen Beitrag antworten »
So in etwa? $\begin{eqnarray} 5\sum\limits_{k=0}^\infty k3^{-k} \end{eqnarray}$
04.02.2015, 20:18	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht schon ganz gut aus. Jetzt musst du noch das Minus im Exponenten beseitigen.
04.02.2015, 20:21	MatheUni123	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann müsste ich ja mit 3^(2k) multiplizieren?
04.02.2015, 20:23	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit würdest du ja den Term verändern. Ein Potenzgesetz hilft dir hier weiter: $\begin{eqnarray} 3^{-k}=(3^{-1})^k \end{eqnarray}$
04.02.2015, 20:29	MatheUni123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erhalte ich für mein q dann, q=1/3 und setze das dann ein. Dafür erhalte ich 9/4,dann noch mit 5 multiplizieren und mein Grenzwert ist 45/9?
04.02.2015, 20:33	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein bisschen noch mit dem Exponenten aufpassen: Deine Reihe ist $\begin{eqnarray} 5\sum_{k=0}^\infty k\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{\textcolor{red}{k}} \end{eqnarray}$ . Die Gleichung, die wir durch Differentiation erhalten haben, ist aber $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty k\cdot q^{\textcolor{red}{k-1}}=\frac{1}{(1-q)^2} \end{eqnarray}$
04.02.2015, 20:41	MatheUni123	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 5\sum\limits_{k=0}^\infty k\frac{1}{3} ^{k} \frac{1}{3} ^{-1} =\frac{1}{3} ^{-1}\frac{1}{(1-q)^{2} } \end{eqnarray*}$ So, jetzt aber?
04.02.2015, 20:48	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, immer noch nicht. Entweder machst du folgendes: $\begin{eqnarray} 5\sum_{k=0}^\infty k\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{k} = 5\sum_{k=0}^\infty k\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^1=5\cdot \frac{1}{3} \sum_{k=0}^\infty k\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} \end{eqnarray}$ Oder so: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-q)^2} = \sum_{k=1}^\infty k\cdot q^{k-1}=\sum_{k=1}^\infty k\cdot \frac{q^k}{q}=\frac{1}{q}\sum_{k=1}^\infty k\cdot q^k \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \frac{q}{(1-q)^2} =\sum_{k=1}^\infty k\cdot q^k \end{eqnarray}$
04.02.2015, 20:58	MatheUni123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah man, das -1 im Exponenten war wirklich blöd... Der Grenzwert ist dann wohl 15/4. Das war 'ne schwierige Geburt. Auf jeden Fall vielen lieben dank an dich, dass du dir die Zeit genommen hast. Schönen Abend dir
04.02.2015, 20:59	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
15/4 ist richtig. Dir auch einen schönen Abend.

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert einer unendlichen Reihe

Verwandte Themen