Automorphismus

04.02.2015, 20:01

Dodil

Automorphismus

Hey an alle.

Die Vorzeichenänderung $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathbb R \Rightarrow \mathbb R, x \Rightarrow -x \end{eqnarray*}$ ist ein Automorphismus der additiven Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb R;+) \end{eqnarray*}$ , aber nicht der multiplikativen $\begin{eqnarray*} (\mathbb R / \{0\}; *) \end{eqnarray*}$ .

Beschäftige mich gerade mit dem Thema Automorphismus. Der Automorphismus ist eine bijektive strukturerhaltende Abbildung, wobei sie von einer Menge in die selbe abbildet. Richtig?

Wenn ich nun diese Abbildung auf die additive Gruppe anwende, dann hat sich die Menge doch gar nicht geändert?! Alle positiven Zahlen wurden negativ und alle negativen positiv. Also hat sich doch gar nichts zu vorher verändert.
Und dasselbe gilt doch auch für die multiplikative Gruppe, was hat sich nun an der Menge geändert?

Also für mich ist demnach die Vorzeichenänderung ein Automorphismus beider Gruppen.
Warum nicht?

Vielen Dank.

04.02.2015, 20:08

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Beschäftige mich gerade mit dem Thema Automorphismus. Der Automorphismus ist eine bijektive strukturerhaltende Abbildung, wobei sie von einer Menge in die selbe abbildet. Richtig?

Ja so wird es gemeinhin definiert.

Zitat:

Wenn ich nun diese Abbildung auf die additive Gruppe anwende, dann hat sich die Menge doch gar nicht geändert?

Die Zugrundeliegende Menge soll sich doch auch gar nicht ändern:
Ein Automorphismus ist eine Bijektion.

Zitat:

Warum nicht?

Weil er nicht strukturerhaltend (und das ist das wirklich wichtige)

Was heißt denn hier strukturerhaltend?

04.02.2015, 20:09

Mulder

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Zitat:

Original von Dodil
Und dasselbe gilt doch auch für die multiplikative Gruppe, was hat sich nun an der Menge geändert?

Deine Abbildung ist noch nichtmal ein Homomorphismus, wenn du $\begin{eqnarray*} (\mathbb R / \{0\}; *) \end{eqnarray*}$ betrachtest.

Edit: Ich bin raus.

05.02.2015, 13:54

Dodil

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Danke für die beiden Antworten.
Vorweg bei der multiplikativen Gruppe, ist mir ein Fehler unterlaufen, es sollen die reelen Zahlen ohne die 0 sein.

Zitat:

Was heißt denn hier strukturerhaltend?

Das heißt soweit ich weiß, dass die Struktur der Gruppe erhalten bleibt, also Assoziativität, neutrales Element und zu jedem Element der Menge ein inverses.

Aber warum ist jetzt die Vorzeichenänderung kein Automorphismus der angegeben multiplikativen Gruppe? verwirrt

05.02.2015, 15:17

Captain Kirk

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Bitte schau dir mal die Definition dort an:

de.wikipedia.org/wiki/Gruppenhomomorphismus

06.02.2015, 11:41

Dodil

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Mir fällt mit der Definition von Wiki dieses Gegenbeispiel ein:

phi(1*1) = phi(1) * phi(1)
-1 = -1 * -1 = 1
-1 != 1

Also zeigt mein Beispiel, dass die Vorzeichenänderung kein Automorphismus der angegeben multiplikativen Gruppe ist?

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