Diffbar zeigen

05.02.2015, 02:32

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Diffbar zeigen

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x\sin x , & \mbox{für} x\in Q \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen, ob f diffbar ist

ich kann nur für x= k*pi zeigen dass f diffbar ist

$\begin{eqnarray*} |sin(x-k\pi)|=|sin(x)| \end{eqnarray*}$
dabei ist y_n eine folge in Q
und wir zeigen, dass der grenzwert existiert
$\begin{eqnarray*} \left|\lim_{y_n\to x}\frac{y_n\sin y_n-0}{y_n -x}\right|=\left|\lim_{y_n\to x}\frac{y_n\sin (y_n-k\pi)}{y_n -k\pi}\right|=\left|\lim_{y_n\to x}y_n\lim_{y_n\to x}\frac{\sin (y_n-k\pi)}{y_n -k\pi}\right|=\lim_{y_n\to x}y_n*1=k\pi \end{eqnarray*}$

für x ungleich k*pi fällt mir nichts ein

05.02.2015, 04:53

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RE: Diffbar zeigen
das wäre zuzeigen :
wir zeigen nun das für alle $\begin{eqnarray*} x\notin \left \{ 0,k\pi \right \} \end{eqnarray*}$ dass der diff Quotient nicht existiert

beweis
y_n ist eine folge die gegen ein x ungleich k*pi konvergiert

und wir zeigen, dass der grenzwert nicht existiert
$\begin{eqnarray*} \left|\lim_{y_n\to x}\frac{y_n\sin y_n-0}{y_n -x}\right|=? \end{eqnarray*}$

wie berechnet man diesen Grenzwert??

P.S ich könnte indirekt von unstetig von f an der stellen $\begin{eqnarray*} x\notin \left \{ 0,k\pi \right \} \end{eqnarray*}$ zeigen und daraus folgern, dass f dann nicht diffbar wäre an alle stelle außer $\begin{eqnarray*} x\in \left \{ 0,k\pi \right \} \end{eqnarray*}$

05.02.2015, 09:15

bijektion

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Die Funktion ist $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, ~x\mapsto\begin{cases} x\cdot \sin x & x\in\mathbb{Q} \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

Die Idee mit der Stetigkeit sieht schon gut aus. Du kannst nun nutzen, dass es für alle $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ stets ein $\begin{eqnarray*} \xi \in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} \xi\in U_{\delta}(x_0) \end{eqnarray*}$ .
Für dieses $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ gilt sicher $\begin{eqnarray*} f(\xi)=0 \end{eqnarray*}$ , aber in $\begin{eqnarray*} U_{\delta}(x_0) \end{eqnarray*}$ liegen auch noch rationale Zahlen $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} f(\rho)\neq 0 \end{eqnarray*}$ nach dem Satz vom Nullprodukt und der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \rho\notin\left\{ k\cdot \pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt musst du abschätzen.

Hilft die das schon weiter?

EDIT: Mit den Folgen geht es analog, dann kannst du aus der Konvergenz schließen, dass es für alle $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} n_0>N_{\delta} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} y_{n_0}\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} m_0>N_{\delta} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_{m_0}\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

05.02.2015, 14:50

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R/Q liegt Dicht im R
Das bedeutet, für jedes x element in Q existiert einee folge y_n in R/Q die gegen x konvergiert
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} y_n=x . \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(y_n)= \lim_{n\to\infty} 0=0\neq f(x) \end{eqnarray*}$ .

das beweist, f(x) nicht stetig in $\begin{eqnarray*} x\in Q \end{eqnarray*}$
Analog kann man zeigen, dass f auch nicht stetig $\begin{eqnarray*} x\in R\setminus Q \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} x \neq k\pi,0 \end{eqnarray*}$

für x=k*pi habe ich bereits den diff quotient bestimmt, stimmt der?, was die stetig zeigt
analog für x=0

05.02.2015, 17:31

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ich hoffe ich habe dich nicht mit meiner letzten Bemerkung verschreckt

06.02.2015, 11:11

bijektion

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Für $\begin{eqnarray*} x_0^{(k)}=k\cdot\pi~(k\in\mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ wählen wir ein Folge $\begin{eqnarray*} (x_n^{(k)}) \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} x_0^{(k)} \end{eqnarray*}$ konvergiert.
O.B.d.A. kann $\begin{eqnarray*} x_n^{(k)}\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gewählt werden, also ist $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_n^{(k)})-f(x_0^{(k)})}{x_n^{(k)}-x_0^{(k)}}=x_n^{(k)}\cdot\frac{\sin x_n^{(k)} - \sin x_0^{(k)}}{x_n^{(k)} -x_0^{(k)}} \end{eqnarray*}$ , hier fällt dir jetzt bestimmt etwas auf smile

06.02.2015, 12:23

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$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_n^{(k)})-f(x_0^{(k)})}{x_n^{(k)}-x_0^{(k)}}=x_n^{(k)}\cdot\frac{\sin x_n^{(k)} - \sin x_0^{(k)}}{x_n^{(k)} -x_0^{(k)}} \end{eqnarray*}$

Wenn man nun den Grenzwert bildet dann

$\begin{eqnarray*} limx_n^{(k)}=x_0^{(k)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} lim \frac{\sin x_n^{(k)} - \sin x_0^{(k)}}{x_n^{(k)} -x_0^{(k)}}=cos(x_0^{(k)}) \end{eqnarray*}$

je nach ob k gerade oder ungerade ergibt sich für gearde +1 und k nicht gerade-1

insgesamt k*pi oder -k*pi

allerdings ist das doch ähnlich zu dem hier??
wobei man hier $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |sin(x-k\pi)|=|sin(x)| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left|\lim_{y_n\to x}\frac{y_n\sin y_n-0}{y_n -x}\right|=\left|\lim_{y_n\to x}\frac{y_n\sin (y_n-k\pi)}{y_n -k\pi}\right|=\left|\lim_{y_n\to x}y_n\lim_{y_n\to x}\frac{\sin (y_n-k\pi)}{y_n -k\pi}\right|=\lim_{y_n\to x}y_n*1=k\pi \end{eqnarray*}$

06.02.2015, 12:29

bijektion

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Zitat:

allerdings ist das doch ähnlich zu dem hier?? wobei man hier $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \end{eqnarray*}$

Wieso? Nur für $\begin{eqnarray*} x_0^{(0)} \end{eqnarray*}$ .

07.02.2015, 00:16

Edit

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Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

allerdings ist das doch ähnlich zu dem hier?? wobei man hier $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \end{eqnarray*}$

Wieso? Nur für $\begin{eqnarray*} x_0^{(0)} \end{eqnarray*}$ .

sry das missverständlich ausgedrückt
ich wollte dich fragen ob man auch diffbarkeit auch so zeigen kann

Zitat:

Original von Edit

$\begin{eqnarray*} |sin(x-k\pi)|=|sin(x)| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left|\lim_{y_n\to x}\frac{y_n\sin y_n-0}{y_n -x}\right|=\left|\lim_{y_n\to x}\frac{y_n\sin (y_n-k\pi)}{y_n -k\pi}\right|=\left|\lim_{y_n\to x}y_n\lim_{y_n\to x}\frac{\sin (y_n-k\pi)}{y_n -k\pi}\right|=\lim_{y_n\to x}y_n*1=k\pi \end{eqnarray*}$

?
und anderseits ob ich deinen vorschlag richtig umgesetzt habe

07.02.2015, 09:03

bijektion

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Das sollte so passen, aber lass doch die ganzen Beträge weg.

14.02.2015, 14:33

Papier

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was wäre wenn y_n element von R/Q gegen x=k*pi konvergiert??
Denn jetzt liefert der Differentialquotient als Grenzwert 0

15.02.2015, 19:37

Wal[=

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