Rekursive Folge - Vollständige Induktion, Monotonie, Konvergenz |
05.02.2015, 19:56 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Rekursive Folge - Vollständige Induktion, Monotonie, Konvergenz vollständige Induktion bei Summenzeichen oder auch Ableitungen bekomme ich noch irgendwie hin, aber bei rekursiv definierten Folgen schaltet irgendwie mein Gehirn aus. Ich trage das schon ein paar Tage mit mir herum und finde einfach nichts das mir weiterhilft. Ich habe noch kein einzige Aufgabe dieser Art gelöst. Also... mit Startwert Ich soll mit vollständiger Induktion zeigen, dass für alle gilt ___________________________________________________________________ "prüfen, ob es für das kleinste gilt" gilt Induktionsbehauptung: "aus Aufgabenstellung abschreiben" Induktionsvoraussetzung: Beweis: ___________________________________________________________________ So zu aller erst was ist denn jetzt die I.-Voraussetzung? ??? Irgendwie hab ich hier den Hänger und 0 Ahnung wie ich ansetzen soll, auch dann beim Beweis nicht. |
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05.02.2015, 20:01 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Rekursive Folge - Vollständige Induktion, Monotonie, Konvergenz Könntest Du die Aufgabenstellung bitte korrigieren? Eine Rekursion hast Du nämlich nicht vorliegen, da nur der Index n+1 in der Definition auftaucht und keine niedrigeren Indizes. |
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05.02.2015, 20:11 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ie exakte Aufgabenstellung lautet : Gegeben ist die rekursive Folge mit dem Startwert Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle gilt |
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05.02.2015, 20:18 | Matt Eagle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Rekursive Folge - Vollständige Induktion, Monotonie, Konvergenz Offenbar geht's hier um die Rekursion: Die Beschränktheit nach oben durch zeigst Du mit einer einfachen Induktion. Ohne Tricks oder so, einfach stumpf geradeaus... Für den Nachweis des monotonen Wachsens ist es ganz nützlich zu sehen, dass: |
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05.02.2015, 20:21 | Matt Eagle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Rekursive Folge - Vollständige Induktion, Monotonie, Konvergenz Uups, zu langsam. Inzwischen ist die Aufgabenstellung also geklärt und ich bin wieder raus. |
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05.02.2015, 20:54 | Matt Eagle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Rekursive Folge - Vollständige Induktion, Monotonie, Konvergenz Grad ist mir aufgefallen, dass ich in meinem Beitrag vorhin den Faktor bei der Rekursionsvorschrift verbummelt habe. Sorry! Bei der Gelegenheit noch ein kleiner Schubser, um die Induktion ins Rollen zu bringen: Der Induktionsanfang ist ja klar. Induktionsvoraussetzung: Sei die Beh. für bereits bewiesen, d.h.: Sei Im Induktionsschritt (von n->n+1) ist dann nur noch zu zeigen, dass die Induktionsvoraussetzung impliziert, dass |
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05.02.2015, 21:13 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich muss in der Induktionsvoraussetzung annehmen, dass das was ich laut Aufgabenstellung zeigen soll bereits bewiesen ist? |
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05.02.2015, 21:44 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Du sollst zeigen, dass die Aussage für n+1 gilt, sofern sie für ein bestimmtes n gilt. |
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06.02.2015, 09:44 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie schaut es hiermit aus? |
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06.02.2015, 10:14 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt hast du nur gezeigt, daß x_1 < 1/6 ist. Das ist aber keine vollständige Induktion. Was beim Induktionsschritt zu tun hast, hat Matt Eagle in seinem letzten Beitrag gesagt.
Im Gegensatz zu Helferlein würde ich zu dieser Aussage nicken. Beim Induktionsschritt ist die Implikation A(n) ==> A(n+1) zu zeigen, wobei A(n) die zu beweisende Aussage ist. Insofern wird im Induktionsschritt die Aussage A(n) als wahr vorausgesetzt. |
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06.02.2015, 10:49 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann man das folgende so als Allgemeinaussage stehen lassen für rekursive Folgen? In der Rekursionformel einfach immer mit ersetzen damit sowas wie herauskommt? Konkret zur Aufgabe: |
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06.02.2015, 10:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn, dann , ansonsten: ja. |
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06.02.2015, 11:06 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Äh ja ich meinte natürlich Nur wie führe ich jetzt den Beweis durch? Ist bei vollständiger Induktion mit rekursiven Folgen im Vergleich zu Induktion mit Summen, Teilbarkeit, etc. mehr Argumentation bzw. Überlegung statt Rechnerei notwenig? Also z.B da und ähm ja irgendwie sowas in der Richtung? |
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06.02.2015, 11:51 | Matt Eagle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Offenbar hast Du das grundsätzliche Prinzip der Vollständigen Induktion noch nicht so ganz verinnerlicht. Im Grunde genommen beweist Du im Induktionsschritt einfach folgendes: Gilt eine Aussage für ein , dann gilt sie auch für den Nachfolger . Wenn du dieses allgemein gezeigt hast dann folgt zusammen mit dem Induktionsanfang für die Gültigkeit der Aussage für alle . Im konkreten Fall musst Du also zeigen, dass Du aus der VORAUSSETZUNG folgern kannst, dass auch Um diesen Beweis nun zu führen ist nichts weiter zu tun als einmal die Rekursionsformel hinzuschreiben und in dieser dann die vorausgesetzte Ungleichung einzubringen, dann steht's eigentlich direkt da. |
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06.02.2015, 11:52 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Rekursive Folge - Vollständige Induktion, Monotonie, Konvergenz In Ergänzung zum Beitrag von Matt Eagle: Als erstes könntest du in der linken Seite von die Rekursionsvorschrift einsetzen. |
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06.02.2015, 12:23 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Rekursive Folge - Vollständige Induktion, Monotonie, Konvergenz Okay also die Rekursionsvorschrift einsetzen: Und jetzt nur noch nach auflösen? |
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06.02.2015, 12:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Rekursive Folge - Vollständige Induktion, Monotonie, Konvergenz Anscheinend ist es über alle Maßen schwer, in das durch zu ersetzen. Richtig ist: <-- dieses ist also zu zeigen. Jetzt solltest du die linke Seite hernehmen und das x_n mittels der Induktionsvoraussetzung nach oben abschätzen. |
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06.02.2015, 12:53 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Upps das sollte natürlich nur ein sein. Ich sollte mal weniger copy&paste in dem Formeleditor benutzen. Tut mir Leid wenn ich durch mein Unwissen manchmal vielleicht offensichtliche Dinge nicht erkenne Die Induktionsvoraussetzung ist Wie funktioniert das mit dem nach oben abschätzen? Kommt jetzt etwas für das ich sowas hier benötige? |
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06.02.2015, 13:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig ist: Jetzt multipliziere noch die rechte Ungleichung mit 3 und dann bist du fast schon am Ziel. |
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06.02.2015, 14:54 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich die rechte Seite mit 3 multipliziere, muss ich dann nicht auch machen? |
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06.02.2015, 15:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. Deswegen sagte ich ja auch "fast schon am Ziel". |
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06.02.2015, 15:39 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay wenn ich das mache steht da Aber ich will doch zeigen, dass ist? Irgendwo häng ich gerade noch oder anders gesagt wie füge ich die ganzen Schritte denn jetzt zusammen die ich gemacht habe? |
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06.02.2015, 16:34 | Matt Eagle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Statt Dir jetzt die Lösung hinzuknallen versuch ich's noch mal anders. Sei Zeige: Hättest Du eine Idee wie Du das beweisen könntest? |
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06.02.2015, 17:00 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du meinst ? Damit ist muss ja sein. Ich würde dann einfach diese Gleichung umstellen: Also ist für |
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06.02.2015, 17:15 | Matt Eagle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, sicher! Da hab ich gepennt - sorry! Deine folgenden Ausführungen sind nicht besonders suggestiv aufgeschrieben. Dieses Rumhantieren mit Äquivalenzen (die teilweise keine sind und die Du hier gar nicht brauchst) bis Du dann irgendwie bei einer wahren Aussage landest, wirkt sehr ungelenk und ist zudem extrem fehleranfällig. Besser wäre es z.B. so: oder so: Und funkt's jetzt? |
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06.02.2015, 18:15 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay ich versuche dann jetzt nochmal den kompletten Beweis richtig aufzuschreiben: Angenommen für ein festes aber beliebiges gilt (Induktionsvoraussetzung) dann gilt auch (Induktionsbehauptung) |
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06.02.2015, 18:21 | Matt Eagle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, so kann man das aufschreiben - abgesehen vom kleinen Tippfehler am Ende. (Ich meine das n-1 im Index) In solchen Situationen spricht man auch gerne von einer schweren Geburt |
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06.02.2015, 19:03 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank schon mal bis hier her Wie zeige ich jetzt, dass die Folge streng monoton ist ohne die einzelnen Folgenwerte per Hand auszurechnen? |
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06.02.2015, 19:23 | Matt Eagle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auch das wurde schon erwähnt...
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06.02.2015, 20:46 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kann ich jetzt so auf die schnelle überhaupt nicht nachvollziehen |
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09.02.2015, 08:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wann ist denn eine Folge treng monoton wachsend?
Richtig ist: |
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