Erzeuger abbilden unter Homomorphismen

05.02.2015, 20:46

StrunzMagi

Erzeuger abbilden unter Homomorphismen

Ich habe eine allgemeine Frage:
Bilden Gruppenhomomorphismen Erzeuger der einen Gruppe auf den Erzeuger der anderen Gruppe ab? Ist das genauso wie in der Linearen Algebra mit linearen Abbildungen?
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \phi: G=<M> \rightarrow H=<L> \end{eqnarray*}$ einen Gruppenhomomorphismus habe, gilt dann $\begin{eqnarray*} \phi(m)=l \forall m \in M \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} l \in L \end{eqnarray*}$ ist?

Danke,
LG

06.02.2015, 11:34

Elvis

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Ja, das ist genau so wie in der linearen Algebra völlig falsch. Betrachte die Nullabbildung $\begin{eqnarray*} \phi(x)=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x \end{eqnarray*}$ .

06.02.2015, 12:37

RavenOnJ

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RE: Erzeuger abbilden unter Homomorphismen

Zitat:

Original von StrunzMagi
Bilden Gruppenhomomorphismen Erzeuger der einen Gruppe auf den Erzeuger der anderen Gruppe ab?

Hättest du geschrieben "auf Erzeuger einer Untergruppe der anderen Gruppe ab", dann wäre es richtig gewesen. Ein Beispiel wäre die trviale Abbildung der Erzeuger auf die 1 der anderen Gruppe (-> Elvis). Offensichtlich besteht das Bild dieses Homomorphismus nur aus der 1.

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