Folge von Integralen: Beschränktheit

05.02.2015, 21:16

Cyvasse

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Folge von Integralen: Beschränktheit

Hey, sorry ich muss euch nochmals behelligen unglücklich

unglücklich

Folgende Aufgabe:

(a) Beweisen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ der Zahlen

$\begin{eqnarray*} a_n=\int\limits_{1}^{n} \frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$

unbeschränkt ist, indem Sie eine geeignete Untersumme für das Integral angeben.

(b) Beweisen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ der Zahlen

$\begin{eqnarray*} b_n=\int\limits_{1}^{n} \frac{1}{x^2}dx \end{eqnarray*}$

beschränkt ist, indem Sie eine geeignete Obersumme für das Integral angeben.

Das schien mir erst mal intuitiv klar zu sein, als ich mir die entsprechenden Funktionsgraphen vorgestellt hab. (a) ist unbeschränkt und (b) kann nicht kleiner als 0 werden. Was mich hier irritiert sind die Integrationsgrenzen. Es fängt bei 1 an, also ist der interessante Bereich ja gar nicht in der Betrachtung, somit können die Folgenglieder doch bei beiden nicht größer als das erste und nicht kleiner als 0 werden?

Wo ist mein Denkfehler? Und wie setze ich an, um das zu formalisieren?

05.02.2015, 23:04

Nofeykx

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Es geht hier aber nicht um die Funktionsgraphen, sondern um deren Integrale. Ob die Funktionen selbst beschränkt sind oder nicht ist hier vollkommen irrelevant.

05.02.2015, 23:12

Cyvasse

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Vielen Dank für deinen konstruktiven Beitrag.

05.02.2015, 23:17

Nofeykx

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Wenn du mit meinem Beitrag nicht zufrieden bist dann sag doch einfach, was dir daran nicht gefällt.

05.02.2015, 23:20

Cyvasse

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Du hast mir gesagt, dass ich mir was falsches vorstelle. Okay. Denkanstöße waren jedoch keine dabei. Das ist mein Problem. Ich bin nicht hier, um mir zeigen zu lassen, wie dumm ich bin. Wenn du darauf aus bist, würde ich dich bitten, diesen Thread zu ignorieren.

05.02.2015, 23:24

Cyvasse

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Back2Topic:

Okay, also das Integral wird durch die Ausweitung der oberen Grenze mit jedem Folgenglied größer. Und da 1/x keine Nullstelle hat, finde ich zu jedem vorgegeben Flächeninhalt ein Folgenglied, das größer ist. Aber wie bringe ich das in Zusammenhang mit einer "geeigneten Untersumme"?

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05.02.2015, 23:35

Guppi12

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Hallo,

was ist denn eine Untersumme dieses Integrals, wie ist die definiert?

05.02.2015, 23:42

Cyvasse

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Hey,

naja die allgemeine Form ist doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k-1})\cdot(x_k - x_{k_1}) \end{eqnarray*}$

So und jetzt fängt das Problem an. Wie stelle ich obiges Integral als eine solche Untersumme dar? n beschreibt doch die Anzahl der "Streifen" in die ich den zu integrierenden Bereich aufteile. Aber wie verändert sich die Summe, wenn ich die obere Integrationsgrenze verändere, was ja ausschlaggebend bei der Folge ist.

Vielleicht verrenne ich mich hier auch total.

05.02.2015, 23:50

Guppi12

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Das $\begin{eqnarray*} x_{k1} \end{eqnarray*}$ soll wohl ein $\begin{eqnarray*} x_{k-1} \end{eqnarray*}$ sein?
Das stimmt aber so nur für monoton steigende Funktionen. Im allgemeinen ist das anders definiert.

Außerdem hast du hier jetzt für die Anzahl der Teilintervalle, die du für deine Untersumme benutzt auch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ genommen. Das ist a priori etwas ungünstig, weil deine Folge auch über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ indiziert ist. Es stellt sich hier zwar heraus, dass es Sinn macht, für das $\begin{eqnarray*} n. \end{eqnarray*}$ Folgenglied eine Untersumme mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zwischenstellen zu wählen, aber vielleicht ist das bereits ein Teil deiner Verwirrung. Das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in der Summe und jenes, dass die Folge indiziert haben erstmal wenig miteinander gemein.

Von dir wird nun erwartet, dass du geeignete Zwischenstellen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ auswählst und ausnutzt, dass eine jede Untersumme stets kleiner ist, als das entsprechende Integral. Damit erhälst du eine Abschätung nach unten.

06.02.2015, 00:11

Cyvasse

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Okay, vielen Dank. Ich kann dir zwar noch nicht zu 100% folgen, aber ich mach mal nen wilden Versuch. Ich wähle $\begin{eqnarray*} x_k=\frac{k}{n} \end{eqnarray*}$ und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k-1})(x_k - x_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right)\left(\frac{k}{n} -\left(\frac{k}{n}-\frac{1}{n}\right)\right)= \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{k-1} \cdot \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir eine Reihe, die nach dem Minorantenkriterium divergiert und somit für beliebig große n beliebig groß wird. Also ist die Folge (a_n) nicht beschränkt. Und analog könnte ich das jetzt für (b_n) zeigen, da die zugehörige Reihe nach dem Majorantenkriterium konvergiert und die Folge beschränkt ist.

Stimmt das so?

06.02.2015, 00:15

Guppi12

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Ich hatte dir doch gesagt, dass deine Formel so nur für monoton steigende Funktionen richtig ist.

Außerdem musst du deine $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ so wählen, dass die erste Zwischenstelle gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist und die letzte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Das ist bei dir nicht der Fall.

06.02.2015, 00:46

Cyvasse

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Okay, sorry...

Die Untersumme ist definiert als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \left(\inf_{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x)\cdot(x_k-x_{k-1})\right) \end{eqnarray*}$
Ist das richtig? Das hab ich in meinem Skript nicht gefunden, das musste ich mir ergooglen.

Das zweite verstehe ich so: ich muss $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ so wählen, dass mein erstes $\begin{eqnarray*} x_k=1 \end{eqnarray*}$ und mein n-tes $\begin{eqnarray*} x_k=n \end{eqnarray*}$ ist... muss ich dann nicht einfach $\begin{eqnarray*} x_k=k \end{eqnarray*}$ wählen? (ich denke mal, dass das falsch ist, weil der entsprechende Faktor in der Untersumme dann stets 1 wäre..)

06.02.2015, 00:51

Guppi12

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Zitat:

muss ich dann nicht einfach $\begin{eqnarray*} x_k=k \end{eqnarray*}$ wählen?

Was heißt müssen? Du kannst. Und zufälligerweise passt das dann auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.02.2015, 00:59

Cyvasse

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Oh, Wunder!

Also es geht dann doch nur noch um: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \inf_{k-1<x<k}\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Ich seh noch nicht so recht, worin sich das von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \sup_{k-1<x<k}\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$
unterscheidet Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.02.2015, 01:19

Cyvasse

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Gut, ich geh jetzt schlafen. Vielleicht wache ich morgen mit der Erleuchtung auf.

Aber vielen Dank bis hier hin! Wink

Wink

06.02.2015, 08:09

Guppi12

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Du kannst diese Infima, bzw. Suprema alle auswerten.

Edit: Außerdem (ist mir nachts nicht aufgefalle, war schon spät) musst du, wenn du in den Summen jeweils die Intervalle $\begin{eqnarray*} [x_{k-1},x_k] \end{eqnarray*}$ wählst, die $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ anfangen lassen. Du müsstest also $\begin{eqnarray*} x_k = k+1 \end{eqnarray*}$ wählen und die Summe bei $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ abbrechen.

06.02.2015, 14:20

Cyvasse

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Zitat:

Original von Guppi12
Du müsstest also $\begin{eqnarray*} x_k = k+1 \end{eqnarray*}$ wählen und die Summe bei $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ abbrechen.

Okay, wir behandeln also Folgendes:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1} (x_k-x_{k-1}) \cdot \inf_{x_{k-1}<x<x_k} f(x)=\sum_{k=1}^{n-1} (k+1-k) \cdot \inf_{k<x<k+1} f(x)=\sum_{k=1}^{n-1} \inf_{k<x<k+1} f(x)=\sum_{k=1}^{n-1} \inf_{k<x<k+1} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Was die Auswertung des Infimums angeht, hatte ich mir heute morgen folgendes überlegt: Ich kann ja schlecht das tatsächliche Infimum für jedes k berechnen. Ich könnte aber eine allgemeine Abschätzung machen, basierend darauf, dass ich ja nun weiß, dass $\begin{eqnarray*} \inf_{k<x<k+1} \Rightarrow \frac{1}{k+1}<\inf \frac{1}{x}<\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Daraus ergibt sich für mich eine Idee, die ich vorher schon mal ähnlich ausbuchstabiert hab. Die hattest du nicht weiter kommentiert. Möglicherweise hast du sie aus gutem Grund ignoriert, aber ich schlags nochmal vor Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also für mich ergibt sich dadurch folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k+1} < \sum_{k=1}^{n-1} \inf \frac{1}{x} < \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Bin ich hier auf der richtigen Fährte? Also um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1} \inf \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ beliebig groß wird? Das ist es doch, was ich zeigen muss, oder?

06.02.2015, 14:49

Guppi12

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Warum genau kannst du denn $\begin{eqnarray*} \inf_{k\leq x\leq k+1}\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ nicht für beliebiges $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ausrechnen? Das sollte eigentlich kein Problem sein. Denk darüber vielleicht doch noch einmal etwas nach. Denn dann steht es ja da. Der zweite Teil der Aufgabe geht dann genauso.

06.02.2015, 15:00

Cyvasse

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Okay, ich glaube ich sehe, wo ich hier alles verkompliziere...

$\begin{eqnarray*} \inf_{k\le x \le k+1} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ scheint offensichtlich einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$ zu sein...

Macht ja auch irgendwie Sinn, da $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend ist.

Und jetzt nur noch die entsprechend Summe betrachten und das war's?

06.02.2015, 17:02

Guppi12

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Ja.

07.02.2015, 23:11

Cyvasse

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Vielen lieben Dank, du hast mir nicht nur bei der Aufgabe geholfen, sondern auch dabei, Integration an sich besser zu verstehen Freude

Freude

Cool, dass du so viel Geduld mit mir hast.

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