Parametrisierung Ellipse

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Mathe 1905 Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisierung Ellipse
Hi,

ich habe ein großes Problem bei der Parametrisierung von Ellipsen. Würde mich auf eure Hilfe, bezogen auf die kommenden Aufgabe sehr freuen smile

Aufgabe:

[attach]37131[/attach]

In kartesische Koordinaten ists kein problem wie löse ich jedoch das Ganze nach Polarkoordinaten ?

phi geht von 0 bis 2pi das ist mir klar, wie siehts jedoch mit dem radius aus ?

Ellipse:

x=r*cos(phi)
y=r*sin(phi)



Nun weiß ich halt nicht wie ich die Grenzen für r wählen soll würd mich auf eure Hilfe freuen smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die von dir geschriebene Parameterform ist die eines Kreises (Radius r).
Bei der Ellipse ist das ähnlich, allerdings kommen da die Halbachsen a, b ins Spiel:





mY+
Mathe 1905 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke !
x= 9cos(x)
y= 3sin(x)

stimmt das dann ?

wenn ja, wie muss ich dann die Grenzen vom integral wählen ?
Untere Grenze 3 und obere 9 ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm die Grenzen des Winkels von 0 bis , wegen der Symmetrie kann danach mit 4 multipliziert werden. Mit r bezeichne den Radius des Hauptscheitelkreises,
dann ist a = r und b = r/3.

Somit könnte das Integral (ich weiss zwar jetzt nicht, was dessen Zweck ist) so lauten:



EDIT: Korrigiert

mY+
Mathe 1905 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank soweit verstanden Freude

Ein kleines Problem habe ich aber noch muss da nicht noch das innere des Integrals mit einem r multipliziert werden ?

dx dy =r dphi dr verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

dein Flächenelement ist nicht überall gleich gross und hängt von ab !

siehe auch :

http://w3-o.cs.hm.edu/~rschwenk/Buchfolien/kapitel8.pdf seite 65 ff
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben hier nicht exakt Polarkoordinaten, sondern dieselbigen in einer Komponente gestreckt/gestaucht, z.B. wie von mYthos parametrisiert

,

für und erfasst man damit die gesamte Ellipsenfläche. Mit Transformationssatz gilt dann unter Nutzung der Jacobi-Determinante



für die Integraltransformation

.



P.S.: Man könnte natürlich auch zunächst nur die eine Komponente substituieren, um dann auf



mit Kreis vom Radius 9 die "normale" Polarkoordinatentransformation anzuwenden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe 1905
...
... muss da nicht noch das innere des Integrals mit einem r multipliziert werden ?

dx dy =r dphi dr verwirrt


Stimmt, da hatte ich leider r/3 unterschlagen ...
Aber HAL hat das ja jetzt entsprechend erklärt.

mY+
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