Integralbereich berechnen mit Polarkoordinaten

06.02.2015, 00:06	Levian4	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralbereich berechnen mit Polarkoordinaten Ich soll das Flächeninhalt der Fläche $\begin{eqnarray} B=\{ x \geq 0,~ 0 \leq (x^2+y^2)^3 \leq 4x^2y^2,~ 0 \leq y \leq \sqrt{x^2+y^2} \} \end{eqnarray}$ berechnen. Naja, die Vorgehensweise ist zwar bekannt, nämlich x=rcos(phi) und y=rsin(phi), jedoch weiss ich nicht wonach ich auflösen soll. Nach r, nach cosphi nach sinphi? Wie kriege ich das einfach heraus? Bitte helft mir.^^
06.02.2015, 08:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sollte mal alle diese Ungleichungsbedingungen der Definition von B unter der Lupe nehmen: $\begin{align} x\geq 0 \end{align}$ und $\begin{align} y\geq 0 \end{align}$ bedürfen keiner weiteren Erläuterung. Der zweite Teil der letzten Bedingung $\begin{align} y\leq \sqrt{x^2+y^2} \end{align}$ ist überflüssig, denn das ist immer erfüllt, wie man nach Quadrierung sofort sieht. Bleibt also im wesentlichen nur die mittlere Bedingung übrig, und da auch nur der rechte Teil, denn $\begin{align} \geq 0 \end{align}$ ist wieder automatisch erfüllt. Wie du richtig erkannt hast, helfen da Polarkoordinaten $\begin{align} x=r\cos(\varphi),y=r\sin(\varphi) \end{align}$ - setz das doch erstmal ein. Die Umformung, von der du sprichst, brauchst du erst für die Integralauswertung, und da bleibt es deiner Wahl überlassen, in welcher Integrationsreihenfolge du das anstehende Doppelintegral in $\begin{align} r,\varphi \end{align}$ auswertest.

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