Ist die Reihe konvergent?

06.02.2015, 11:51

martinio

Ist die Reihe konvergent?

Hallo ,

man soll argumentieren ob die foglende Reihe konvergent ist.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\ln(n)-\left[\ln(n)\right] }{n^2} \end{eqnarray*}$

Idee: Prüfe, ob die notwendige Konvergenzbedingung verletzt ist.
Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ (keine Nullfolge), dann ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ divergent.

Also: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)-\left[\ln(n)\right] }{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(\ln(n)-\left[\ln(n)\right]\right) \times \lim_{n \to \infty} {\frac{1}{n}}^2 = \infty \times 0 \end{eqnarray*}$

Ergibt aber einen unbestimmten Ausdruck.

Als Tools haben wir in der vorlesung noch Quotientkriterium, Grenzwertkritierium (mit beiden kam ich hier nicht weiter), als auch das Minoranten- und Majorantekriterium.

Kann mir kmd. helfen?

06.02.2015, 12:00

bijektion

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Was heißt $\begin{eqnarray*} [\log n] \end{eqnarray*}$ ?

06.02.2015, 12:21

martinio

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Soll die Abrundungsfunktion/Gaußklammer sein.

06.02.2015, 12:24

bijektion

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Und wie kommst du dann auf die Idee, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (\log n - [\log n])_n \end{eqnarray*}$ bestimmt divergent ist? verwirrt

Bei dieser Reihe benutzt man am besten das Majorantenkriterium, denn wir haben $\begin{eqnarray*} \log n - [\log n]\in [0,1) \end{eqnarray*}$ und somit eine geeignete Abschätzung.

06.02.2015, 13:00

martinio

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Zitat:

Original von bijektion
Bei dieser Reihe benutzt man am besten das Majorantenkriterium, denn wir haben $\begin{eqnarray*} \log n - [\log n]\in [0,1) \end{eqnarray*}$ und somit eine geeignete Abschätzung.

Ach jetzt seh ich es smile

Wie schreibt man das dann am besten auf? Bin kein Mathematiker , sorry unglücklich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty b_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Majorante zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\ln(n)-\left[\ln(n)\right] }{n^2} \end{eqnarray*}$ . So hat $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dasselbe Konvergenzverhalten.

1. Sei $\begin{eqnarray*} c = \log n - [\log n]\in [0,1) \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\ln(n)-\left[\ln(n)\right] }{n^2} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{c}{n^2} \leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist l.t. Vorlesung kovergent.

06.02.2015, 13:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von martinio
1. Sei $\begin{eqnarray*} c = \log n - [\log n]\in [0,1) \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\ln(n)-\left[\ln(n)\right] }{n^2} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{c}{n^2} \leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{align*} c \end{align*}$ keine Konstante ist, sondern vom jeweiligen $\begin{align*} n \end{align*}$ abhängt, muss man das eher so schreiben:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} c_n = \log n - \lfloor\log n\rfloor\in [0,1) \end{eqnarray*}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\ln(n)-\left\lfloor\ln(n)\right\rfloor }{n^2} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{c_n}{n^2} \leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

P.S.: Beiläufig bemerkt ist sogar $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^2} \end{align*}$ konvergent, was man beispielsweise über die Majorante $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} \end{align*}$ sieht.

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