Funktion mit zwei Variablen

06.02.2015, 13:17

johnnycash87

Funktion mit zwei Variablen

Meine Frage:
Gegeben ist die Funktion h(x,y)=x^4-8x+(x-1)(y-2)²

Berechnen Sie die lokalen Maxima, Minima und Sattelpunkte.

Meine Ideen:
Irgendwie habe ich gar keinen Ansatz. Ich weiß, dass ich nach x und y getrennt voneinander ableiten muss, aber bekomme die Ableitung wegen dem Produkt und der Potenz am Ende nicht hin...

nach x abgeleitet wäre der Anfang ja so: 4x³-8+....da weiß ich mir grad irgendwie nicht zu helfen unglücklich

06.02.2015, 15:06

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RE: Funktion mit zwei Variablen
Betrachte bei der Ableitung nach x das (y-2)² als konstanten Faktor. Dann ist die Ableitung ganz simpel. smile

09.02.2015, 00:00

johnnycash87

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RE: Funktion mit zwei Variablen
Hey, stimmt war gar nicht so schwer, aber komme an einem Punkt nicht weiter

erstmal meine Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} f'x(x,y)=4x³-8+(y-2)² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'y(x,y)=2(x-1)(y-2) \end{eqnarray*}$

Nullstellen: x=1 und y=2

$\begin{eqnarray*} f''xx(x,y)=12x² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''xy(x,y)=2(y-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''yx(x,y)=2(y-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''yy(x,y)=2(x-1) \end{eqnarray*}$

habe dann die Hesse-Matrix verwendet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12x² & 2(y-2) \\ 2(y-2) & 2(x-1) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für x=1 und y=2 eingesetzt ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich denn jetzt die lokalen Maxima, Minima, Sattelpunkte berechnen?

09.02.2015, 08:23

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RE: Funktion mit zwei Variablen

Zitat:

Original von johnnycash87
Nullstellen: x=1 und y=2

Richtig ist x=1 oder y=2 . Jetzt mußt du die Nullstellen jeweils in die erste Gleichung einsetzen und die zugehörige Lösung finden. smile

09.02.2015, 14:01

johnnycash87

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RE: Funktion mit zwei Variablen
achso ok habe dann 3 Lösungen mit

((3Wurzel von 2)/2), (1/0) und (1/4)

ist das so richtig?

09.02.2015, 14:24

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RE: Funktion mit zwei Variablen
Ja. smile

09.02.2015, 14:44

johnnycash87

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RE: Funktion mit zwei Variablen
super danke smile

stehe aber vor einem anderen Problem nun und zwar wenn ich meine Lösungen in die Matrix einsetze habe ich drei Matrizen mit diesen Zahlen:
(sorry weiß nicht wie man 3 Wurzel von 2 auf der Tastatur macht smile

)

für ((3Wurzel von 2)/2)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12(3Wurzel von 2)² & 0 \\ 0 & 2(3Wurzel von 2-1) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für (1/0)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 & -4 \\ -4 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für (1/4)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 & 4 \\ 4 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so jetzt habe ich gelesen man muss die Determinanten ausrechnen und wenn es positiv ist, dann ist es ein Maximum oder Minima und bei einem negativen Wert ist es ein Sattelpunkt...

im ersten Fall ((3Wurzel von 2)/2) komme ich auf einen positiven Wert und weil oben links und unten rechts positive Zahlen sind habe ich ein lokales Minimum.

im zweiten Fall komme ich auf einen negativen Wert (12*0-(-4)*(-4)) = -16, also habe ich hier einen Sattelpunkt

im dritten Fall aber komme ich auch auf -16 und damit einen Sattelpunkt

Gibt es ein lokales Maximum oder was ich eher glaube...ist meine Rechnung falsch Big Laugh

?

DAnke smile

09.02.2015, 15:25

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RE: Funktion mit zwei Variablen

Zitat:

Original von johnnycash87
für ((3Wurzel von 2)/2)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12(3Wurzel von 2)² & 0 \\ 0 & 2(3Wurzel von 2-1) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So geht es mit der Wurzel: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12(\sqrt[3]{2})² & 0 \\ 0 & 2(\sqrt[3]{2}-1) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von johnnycash87
so jetzt habe ich gelesen man muss die Determinanten ausrechnen und wenn es positiv ist, dann ist es ein Maximum oder Minima und bei einem negativen Wert ist es ein Sattelpunkt...

Im Prinzip mußt du die Definitheit der Matrix bestimmen. Was das ist und wie das geht, sollte in der Vorlesung vorgekommen sein. smile

09.02.2015, 16:09

johnnycash87

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RE: Funktion mit zwei Variablen
habe mir grade Videos angeschaut, aber komme immer noch auf zwei Sattelpunkte...

bei der mittleren Matrix:

$\begin{eqnarray*} (12-\lambda) *(0-\lambda )-16 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 0-12\lambda -0+\lambda ^2-16=0 \end{eqnarray*}$

mit pq-Formel komme ich auf $\begin{eqnarray*} 6\pm \sqrt{52} \end{eqnarray*}$

also einen positiven und einen negativen Eigenwert -> Sattelpunkt

bei der unteren Matrix habe ich dann genau die selbe Rechnung, dementsprechend ja auch einen positiven und einen negativen Eigenwert...

10.02.2015, 08:55

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RE: Funktion mit zwei Variablen

Zitat:

Original von johnnycash87
habe mir grade Videos angeschaut, aber komme immer noch auf zwei Sattelpunkte...

Ich habe auch nichts gegen das Ergebnis. Mir ging es eigentlich nur um die mathematische Begründung.

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