Punkte der Gaußschen Zahlenebene

06.02.2015, 17:41

Rivago

Punkte der Gaußschen Zahlenebene

Für welche Punkte der Gaußschen Zahlenebene gilt:

a) $\begin{eqnarray*} 0 < \sqrt{2} Im(z) < |z| \end{eqnarray*}$

Um was geht es hier? Hat das was mit Gebietseinteilung zu tun?

$\begin{eqnarray*} z = x + iy \end{eqnarray*}$

Was muss ich da genau machen? Was wäre denn der erste Schritt?

06.02.2015, 17:54

sixty-four

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RE: Punkte der Gaußschen Zahlenebene
Wenn $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ ist, wie kannst du dann $\begin{eqnarray*} \Im(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ ausdrücken? Wenn du das hast, kannst du beide Ungleichungen mal getrennt aufschreiben. Dann kommst du bestimmt weiter.

06.02.2015, 23:11

Rivago

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Sorry, hier ist das Internet für mehrere Stunden ausgefallen unglücklich

Wäre es so richtig?

$\begin{eqnarray*} 0 < \sqrt{2} \cdot \Im(x + iy) < |x + iy| \end{eqnarray*}$

Oder wie meintest du das?

07.02.2015, 09:06

sixty-four

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Zitat:

Original von Rivago
Wäre es so richtig?

$\begin{eqnarray*} 0 < \sqrt{2} \cdot \Im(x + iy) < |x + iy| \end{eqnarray*}$

Oder wie meintest du das?

Du hast jetzt nur formal z durch x+iy ersetzt. Falsch ist das nicht, allerdings bringt dich das auch nicht wesentlich weiter.
Was weisst du denn über Realteil, Imaginärteil und Betrag der komplexen Zahl x+iy. Kannst du die Begriffe erklären? Die Begriffe wurden in der Vorlesung doch bestimmt erklärt. Wenn du es kannst, dann nutze es um die Ungleichungen zu vereinfachen.

07.02.2015, 10:19

Rivago

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Dann vllt so?

$\begin{eqnarray*} 0 < \sqrt{2} \cdot \Im{(y)} < |x^2 + y^2| \end{eqnarray*}$

07.02.2015, 10:30

sixty-four

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Mir scheint, du hast irgendwas noch nicht verstanden. Warum schreibst du jetzt noch die Betragsstriche (das ist übrigens falsch) und $\begin{eqnarray*} \Im(y) \end{eqnarray*}$ ?

Es ist $\begin{eqnarray*} y= \Im(x+iy \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} |x+iy| = \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

also werden deine Ungleichungen zu:

$\begin{eqnarray*} 0 < \sqrt2 \cdot y < \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

07.02.2015, 10:33

Rivago

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Ahh okay

Und was genau muss ich damit jetzt machen?

07.02.2015, 11:00

Rivago

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Ich hab jetzt mal deinen Schritt ausgeführt, den du in deinem ersten Post beschrieben hast, also beide Ungleichungen getrennt aufschreiben.

$\begin{eqnarray*} 0 < \sqrt{2} \cdot y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot y < \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Was genau muss ich nun machen? Umformen schätze ich. Mit welchem Ziel? Was ist da gesucht? Ich denke mal ich will den Wert von x und y haben?!

07.02.2015, 11:08

sixty-four

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Du hast jetzt Ungleichungen, in denen nur noch reelle Zahlen vorkommen. Darin besteht die Vereinfachung. Diese Ungleichungen musst du jetzt so umformen dass sich eine Beziehung zwischen x und y ergibt, anhand der du beschreiben kannst, wo die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene liegen, wenn sie diese Ungleichungen erfüllen. Fang am besten damit an:

$\begin{eqnarray*} 0<\sqrt2 \cdot y \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das? Stelle dir die Gaußsche Zahlenebene vor und versuche zu beschreiben, wo komplexe Zahlen liegen müssen, wenn für sie diese Ungleichung gilt.

07.02.2015, 11:13

Rivago

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Es bedeutet, dass y größer 0 sein muss, damit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot y \end{eqnarray*}$ größer 0 wird. Denn mit einem negativen Wert für y wird ja die rechte Seite der Ungleichung kleiner 0.

$\begin{eqnarray*} 0 < \sqrt{2} \cdot y \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich die Wurzel 2 auf die andere Seite bringen, oder?

Somit steht da 0 < y bzw y > 0

07.02.2015, 11:23

sixty-four

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Ja, das ist alles richtig. Kannst du mit Worten beschreiben, wo die Zahlen in der Gaußschen Ebene liegen, wenn der Imaginärteil größer 0 ist? Ich gebe dir mal eine Hilfestellung zur Formulierung: Die Gaußsche Ebene wird durch die reelle Achse in 2 Halbebenen geteilt. In eine obere und eine untere.

Wenn du dir das klargemacht hast, geht es mit

$\begin{eqnarray*} y \sqrt2 < \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

weiter.

07.02.2015, 11:30

Rivago

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Wenn y größer 0 ist, dann liegt es im oberen Bereich, also entweder im ersten Quadranten oder im 2. Quadranten, je nachdem ob es einen Realteil gibt und ob dieser Positiv oder Negativ ist. Gibt es keinen Realteil und y ist größer 0, dann liegt y genau auf der Imaginären Achse.

So? ^^

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot y < \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Nun würde ich quadrieren, um die Wurzeln wegzukriegen

$\begin{eqnarray*} 2y^2 = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt das $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ von der rechten Seite auf die linke Seite bringen, also -y²

$\begin{eqnarray*} y^2 < x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y < x \end{eqnarray*}$

???

Edit: Bin kurz weg, ca eine Stunde. Bis später smile

07.02.2015, 12:43

sixty-four

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Zitat:

Original von Rivago
Wenn y größer 0 ist, dann liegt es im oberen Bereich, also entweder im ersten Quadranten oder im 2. Quadranten, je nachdem ob es einen Realteil gibt und ob dieser Positiv oder Negativ ist. Gibt es keinen Realteil und y ist größer 0, dann liegt y genau auf der Imaginären Achse.

So? ^^

So ungefähr. Etwas kürzer könnte man sagen: die Zahlen liegen in der oberen Halbebene, wobei die reelle Achse ausgeschlossen ist.

Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot y < \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Nun würde ich quadrieren, um die Wurzeln wegzukriegen

$\begin{eqnarray*} 2y^2 = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt das $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ von der rechten Seite auf die linke Seite bringen, also -y²

$\begin{eqnarray*} y^2 < x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y < x \end{eqnarray*}$

???

Fast richtig. Du hast aber nicht bedacht, dass aus $\begin{eqnarray*} y^2<x^2 \end{eqnarray*}$ nur folgt |y|<|x|. Da du schon weißt, dass y>0 ist, kanst du die Betragsstriche bei y weglassen. Also y<|x|. Damit bist du auch schon fertig. Di musst dir jetzt mal eine Vorstellung verschaffen, welche Zahlen das sind.
Ich kann dir aber heute auch nicht mehr weiterhelfen, da mein Netz auch ständig gestört ist.

07.02.2015, 13:19

Rivago

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Hm, kann ich mir leider nicht vorstellen unglücklich

Was hat mir das nun gebracht?

Vllt kann jemand anderes weiter machen, wenn sixty-four aufgrund des Internets nicht mehr helfen kann?!

07.02.2015, 14:56

sixty-four

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Du hast jetzt 2 Ungleichumgen, die beide gleichzeitig erfüllt sein müssen 0<y<|x|. Die Ungl. y>0 sorgt dafür, dass nur Zahlen der oberen Halbebene in Betracht kommen. Das hast du doch schon erkannt. Die zweite Ungl. schränkt diesen Bereich jetzt noch weiter ein. Wenn du nicht weißt wie das geschieht, dann versuche doch zunächst einmal komplexe Zahlen anzugeben, bei denen die Gleichheit gilt. Also wo y=|x| ist. Kannst du für diese Gleichung ein paar komplexe Zahlen nennen, wo sie gilt? Wenn du solche Beispiele gefunden hast, dann gehören zu deiner Lösungsmenge alle Zahlen, bei denen der Imaginärteil kleiner ist, sofern er nur größer als 0 ist.
Jetzt mache ich aber für heute wirklich Schluss, die Tipperei auf d Smartphone ist mir zu nervig.

07.02.2015, 15:47

Rivago

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Hab echt keine Ahnung wie das nun noch gehen soll , sorry.

07.02.2015, 21:12

sixty-four

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Hast du denn mal versucht komplexe Zahlen zu finden, für die y=|x| gilt?
Wenn nicht, solltest du das mal machen.
Dann habe ich noch einen Tip für dich, wenn du mit dem Formalismus y<|x| nichts anfangen kannst. Man kann es ja auch verbal beschreiben. Das sind alle komplexen Zahlen, bei denen der Imaginärteil kleiner als der Betrag des Realteils ist. Nimm dir einfach mal ein paar komlexe Zahlen und prüfe, ob das für diese gilt ofer nicht.
Beispiele: -4+5i , 46+11i , 13+7i , -30+12i u.s.w.
Wenn dir dann nicht die Erleuchtung kommt, weiß ich auch nicht weiter.

07.02.2015, 21:24

Rivago

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Also -4 + 5i

Realteil ist -4 = x, Imag. ist 5 = y

Es soll gelten y < |x|

Also 5 < $\begin{eqnarray*} \sqrt{4^2} \end{eqnarray*}$

5 > 4

Meinst du das so?

07.02.2015, 21:37

sixty-four

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Ja, so meine ich das. Allerdings sind Realteil und Imaginäteil reelle Zahlen deshalb musst du da nicht mit der Wurzel operieren. Wen die Zahl x negativ ist, dann ist ihr Betrag -x und sonst x selbst. Was ist denn nun dein Ergebnis? Gehört -4+5i zur Lösungsmenge oder nicht?

07.02.2015, 21:39

Rivago

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Nein, gehört nicht zur Lösungsmenge.

07.02.2015, 21:48

sixty-four

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Richtig. Die Begründung ist: Weil 5 nicht kleiner als 4 ist. Jetzt beantworte dir die Frage auch für die anderen Zahlen und denk dir auch noch selbst welche aus. Dann male dir die Gaußsche Zahlenebene auf und schraffiere die Lösungsmenge. Fertig.

07.02.2015, 21:51

Rivago

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Bei der nächsten Zahl würde die Bedingung dann stimmen. y < |x|

Muss ich da jetzt also irgendwelche Zahlen nehmen und dann in der Ebene einzeichnen? Ist die Aufgabe erst dann gelöst?

07.02.2015, 22:09

sixty-four

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Zitat:

Original von Rivago

Muss ich da jetzt also irgendwelche Zahlen nehmen und dann in der Ebene einzeichnen? Ist die Aufgabe erst dann gelöst?

Nein, das musst du nicht. Es soll dir nur eine Vorstellung davon vermitteln, wie die Lösungsmenge aussieht. Dazu hatte ich dir ja auch den Hinweis gegeben, die Zahlen zu ermitteln, für die zwischen Imaginärteil und Realteil der funktionale Zusammenhang y=|x| besteht. Diese solltest du in der Gauß-Ebene mal skizzieren. Wenn du das hast, ist es doch einfach, alle zu finden, für die die Ungleichung gilt. Das sind alle die, die einen kleineren Imaginäteil haben.

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