Funktionsuntersuchung von Betragsfunktionen

04.03.2007, 19:21

Baldessarini

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Funktionsuntersuchung von Betragsfunktionen

Hallo Leute !

Ich sitz wiedermal fest, und zwar sehr sehr fest Big Laugh

Big Laugh

Folgende Betragsfunktion soll untersucht werden

$\begin{eqnarray*} f(x)=\mid x²-4 \mid \end{eqnarray*}$

Ich weiß dass

$\begin{eqnarray*} |x| = \begin{cases} x & \text {für } x \geq 0 \\ -x &\text {für } x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

diese Fallunterscheidung gilt.

Wie ich das jetzt einsetzen soll e.t.c. versteh ich aber nicht

04.03.2007, 19:23

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} x^2-4=\left(x+2\right)\cdot \left(x-2\right) \end{eqnarray*}$

Damit wirds recht leicht zu bestimmen wann das größer oder kleiner Null ist.

04.03.2007, 19:26

Baldessarini

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Danke für die Antwort, aber den Schritt habe ich nicht verstanden.

Und wi esoll ich da ableiten

04.03.2007, 19:31

Lazarus

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wieso solltest du ableiten ?

Diese Faktorisierung ist einfach die Anwendung einer Binomischen Formel. Der Grund warum man das macht is denk ich offentsichtlich: bei einem Produkt kann man viel leichter bestimmen, wann es negativ wird und wann positiv.

Ein Produkt wird nämlich genau dann negativ, wenn .... ?

04.03.2007, 19:49

Baldessarini

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...wenn mindestens ein Faktor negativ ist ?? Big Laugh

Big Laugh

Moment aber du warst mir ein bisschen zu schnell ... warum muss denn eine Seite null ergeben.

Kannst du mir das vielleicht schrittweise oder an einem Beispiel erklären ... ich verstehe noch nicht mal richtig was Beträge sind ...

Also ich weiß das ein Betrag der Abstand bis 0 ist, das heißt z.B.|7|=7; |-7|=7.

04.03.2007, 20:39

Baldessarini

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oder vielleicht noch anders gesagt, wie soll man
$\begin{eqnarray*} x^2-4=\left(x+2\right)\cdot \left(x-2\right) \end{eqnarray*}$
ableiten ?

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04.03.2007, 21:21

MrPSI

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Auch bei bzw. vor der Ableitung musst du eine Fallunterscheidung machen. also einmal für $\begin{eqnarray*} x^2-4 \geq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^2-4 < 0 \end{eqnarray*}$ . Du musst also im Grunde zwei Funktionen ableiten. smile

smile

Zitat:

Original von Baldessarini
... warum muss denn eine Seite null ergeben.

Das wurde von Lazarus nie erwähnt. Er wollte nur helfen, die x-Werte zu bestimmen, für die $\begin{eqnarray*} x^2-4 \geq 0 \ \text{bzw.} \ <0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Zum Verständnis: ein Betrag kann man sich so vorstellen, dass er den Abstand einer Zahl von der 0 auf der Zahlengeraden angibt. Beispielsweise haben -3 und 3 denselben Abstand von der Null. Diese Darstellung wird auch bei der Erweiterung auf komplexe Zahlen benutzt.

Nun zu Lazarus' Tipps: für welche x wird das Produkt $\begin{eqnarray*} (x+2)(x-2) \end{eqnarray*}$ positiv? Für welche negativ? Damit das Produkt positiv wird, müssen beide Faktoren entweder positiv oder negativ sein....

04.03.2007, 22:15

Baldessarini

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ok bedeutet das

$\begin{eqnarray*} |x| = \begin{cases} x²-4 & \text {für } x \geq 0 \\ 4-x² &\text {für } < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe diese blöden Beträge einfach nicht, ganz besonders nicht wie ich da eine Funktionsuntersuchugn machen soll.

Und ist meine Fallunterscheidung richtig ??

04.03.2007, 22:32

MrPSI

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Nein, das ist leider falsch! unglücklich

unglücklich

Richtig heisst es:

$\begin{eqnarray*} \vert x^2-4 \vert = \begin{cases} x^2-4 & \text{für} \ |x| \geq 2 \\ 4-x^2 & \text{für} \ -2<x<2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Es ist jetzt aber wichtig, dass du diese Lösung verstehst.

Ich versuchs mal so: der Betrag gibt immer den positiven Wert einer Zahl an. Ist die Zahl bereits positiv, so ändert sich nichts. Aber ist die Zahl negativ, so wird ein negatives Vorzeichen davorgesetzt.

Eine Fallunterscheidung funktioniert dann folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \vert y \vert = \begin{cases} y & \text{für} \ y \geq 0 \\ -y & \text{für} \ y<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das ist sozusagen das Layout der Fallunterscheidung.
Wenn nun $\begin{eqnarray*} y=x^2-4 \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \vert x^2-4 \vert = \begin{cases} x^2-x & \text{für} \ x^2-4 \geq 0 \\ 4-x^2 & \text{für} \ x^2-4<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und diese Bedingung "für $\begin{eqnarray*} x^2-4 \geq 0 \end{eqnarray*}$ " bzw. "für $\begin{eqnarray*} x^2-4<0 \end{eqnarray*}$ " lässt sich auch anders formulieren, nämlich indem man direkt die x-Werte angibt. Aus $\begin{eqnarray*} x^2-4 \geq 0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |x| \geq 2 \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} x^2-4<0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} -2<x<2 \end{eqnarray*}$ .

Damit vereinfacht sich "für $\begin{eqnarray*} x^2-4 \geq 0 \end{eqnarray*}$ " zu "für $\begin{eqnarray*} |x| \geq 2 \end{eqnarray*}$ " usw.

//EDIT: Fehler korrigiert.

04.03.2007, 22:40

Baldessarini

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Oh mein Gott ich verstehs wirklich ! Ich glaubs nicht Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank, ich hätte nie gedacht das ich Beträge verstehe.

Eine Frage nur noch :
Kann man anstatt

$\begin{eqnarray*} |x| \geq 2 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x \geq 2 \end{eqnarray*}$ in dem Beispiel schreiben ?

Und wenn ich jetzt beide Fallunterscheidungen habe, einfach ganz normal ableiten und diskutieren oder wie ?

04.03.2007, 22:47

MrPSI

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Nein, man muss $\begin{eqnarray*} \vert x \vert \geq 2 \end{eqnarray*}$ schreiben, weil man auch bedenken muss, dass x negative Werte annehmen kann. Beispielsweise gilt die Beziehung $\begin{eqnarray*} x^2-4\geq 0 \end{eqnarray*}$ auch für -3 gilt. Der Fehler habe ich in meinem Thread auch begangen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, du kannst jede Fallunterscheidung für sich diskutieren. Also $\begin{eqnarray*} x^2-4 \end{eqnarray*}$ kannst du für $\begin{eqnarray*} \vert x \vert \geq 2 \end{eqnarray*}$ diskutieren, etc.

04.03.2007, 22:57

Baldessarini

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ok ich hab noch eine Aufgabe gefunden, schau mal ob ich das richtig mache Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 + \vert x \vert \end{eqnarray*}$

Es gilt :

$\begin{eqnarray*} x^3 + \vert x \vert = \begin{cases} x^3 + x \text{ für} \ x \geq 0 \\ x^3-x & \text{für} \ x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das sieht jetzt eigentlich unvollständig aus , aber ich habe mir das so überlegt :

$\begin{eqnarray*} x^3 + x \text{ für} \ x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Egal welche positiven Werte ich einsetze, die Bedingung erfüllt sich immer. Wenn ich aber negative Werte einsetze, erfüllt sich die Bedingung nicht => also nur Werte die größer/gleich 0 sind,

$\begin{eqnarray*} x^3-x & \text{für} \ x<0 \end{eqnarray*}$

Egal welche negative Werte ich für x einsetze, die Bedingung erfüllt sich immer. Wenn ich positie Werte einsetze, erfüllt sich die Bedingung nicht => also nur Werte kleiner 0 ?

Habe ich mir das richtig gedacht oder total falsch ?

PS: Nochmal zur Kurvendiskussion, cih fang also ganz normal dann in unserem obigen Beispiel , $\begin{eqnarray*} x²-4 \end{eqnarray*}$ zu diskutieren und dann aber auch noch $\begin{eqnarray*} 4-x^2 \end{eqnarray*}$

04.03.2007, 23:04

MrPSI

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Zitat:

Original von Baldessarini
PS: Nochmal zur Kurvendiskussion, cih fang also ganz normal dann in unserem obigen Beispiel , $\begin{eqnarray*} x²-4 \end{eqnarray*}$ zu diskutieren und dann aber auch noch $\begin{eqnarray*} 4-x^2 \end{eqnarray*}$

Richtig, aber du musst auf die Definitionsmenge achten. So gilt für die Funktion $\begin{eqnarray*} 4-x^2 \end{eqnarray*}$ die Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} -2<x<2 \end{eqnarray*}$ .

Was deine Überlegungen anbelangt, verstehe ich nicht, welche "Bedingung" du meinst.

04.03.2007, 23:07

Baldessarini

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Mit Bedingung meinte ich $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$

War meine Fallunterscheidung denn richtig ?

04.03.2007, 23:16

MrPSI

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Ja, deine Fallunterscheidung ist richtig. Freude

Freude

Aber deine Argumentation mit der Bedingung ist eine Tautologie: Wenn du sagst, dass $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ die Bedingung ist und dann noch erwähnst, dass diese Bedingung für positive x erfüllt ist, dann ist das so wie die Aussage "Nasse Wäsche ist nass". Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde eher so argumentieren: $\begin{eqnarray*} \vert x \vert \end{eqnarray*}$ ist x für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und -x für x<0. Daraus folgt $\begin{eqnarray*} x^3+x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^3-x \end{eqnarray*}$ für x<0.
Die Unterscheidung der Funktion hängt also von der Unterscheidung des Betrags-Termes ab.

04.03.2007, 23:22

Baldessarini

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Aaah juhu ich habs verstandne. Teilweise jedenfalls , Übung macht den Meister Augenzwinkern

Augenzwinkern

So ich hab hier aber ein Problem mit der Kurvendiskussion :

Ich diskutiere gerade $\begin{eqnarray*} x^2-4 & \text{für} \ |x| \geq 2 \end{eqnarray*}$

Ableitungen davon :

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich bei den Extrempunkten

Die notwendige Bedingung ist ja $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

also => $\begin{eqnarray*} 2x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

wenn man das jetzt in f(x) einsetzt kommt dann "-4" heraus, eben als y-Wert. Das kann doch garnicht sein, der Graph sieht doch so aus :

Ick häng fest

04.03.2007, 23:25

MrPSI

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Der Fehler ist schnell gefunden.

Zitat:

Original von Baldessarini
Ich diskutiere gerade $\begin{eqnarray*} x^2-4 & \text{für} \ |x| \geq 2 \end{eqnarray*}$

Deine Funktion ist für $\begin{eqnarray*} \vert x \vert \geq 2 \end{eqnarray*}$ definiert. Wenn du also x=0 einsetzt, dann ist es (fast) einsichtig, dass da ein Fehler kommen muss. Aufpassen! Big Laugh

Big Laugh

04.03.2007, 23:29

Baldessarini

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hm ... die Sache ist das bekomme bei der suche für Extremstellen eben null rausbekomme ... irgendwie bin ich gerade aufn Holzweg

04.03.2007, 23:32

MrPSI

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Wenn du x=0 rausbekommst, dieser x-Wert aber nicht in der Definitionsmenge liegt, dann bedeutet das, dass die Funktion in diesem Definitionsbereich nunmal keine Extrema hat.

04.03.2007, 23:36

Baldessarini

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Und wie kann ich dann rechnerisch den anderen finden ?

04.03.2007, 23:39

MrPSI

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Du hast ja bis jetzt nur die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-4 \ \text{für} \ \vert x\vert\geq 0 \end{eqnarray*}$ untersucht, aber wie stets mit $\begin{eqnarray*} g(x)=4-x^2 \ \text{für}\ -2<x<2 \end{eqnarray*}$ ? Dort solltest du bei einem Extremum fündig werden....

04.03.2007, 23:43

Baldessarini

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aaah ok danke , dann mache ich das mal smile

smile

Vielen vielen Danke für deine Hilfe. Ich schätz das wirklich sehr Freude

Freude

Wink

05.03.2007, 00:00

MrPSI

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Bitte, gern geschehen. Freut mich sehr, das zu hören smile

smile

Ich verabschied mich dann mal. Gute Nacht Schläfer

Schläfer

Falls es noch offene Fragen gibt, muss morgen jemand anders helfen, weil ich ausgebucht bin.

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