Partialbruchzerlegung

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06.02.2015, 19:40	Skorab	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung Hallo, habe hier eine Partialbruchzerlegung wo ich nicht weiterweiß und würde mich über Hilfe freuen. $\begin{eqnarray} \frac{x^{3}+x^{2}-4x+2}{x (x-1)^{(2)}} \end{eqnarray}$ Da habe ich zu erst die Polynomdivision durchgeführt und habe als Ergebnis für den Zähler: $\begin{eqnarray} x^{2}+2x-1 \end{eqnarray}$ Danach habe ich es aufgespalten in $\begin{eqnarray} \frac{A1}{x} + \frac{A2}{(x-1)^{2}} + \frac{A3}{x-1} \end{eqnarray*}$ Nach dem Gleichnamigmachen kam bei mir das LGS: A1+A3=0 -> A1=-A3 -3A1+A2-2A3=1 3A1-A2+A3=-2 -A1=-2 -> A1=2 -> A3=-2 A3=-6 Aber dann geht mein LGS nicht in der 2. Zeile auf.
06.02.2015, 23:46	Skorab	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung Niemand eine Idee?
07.02.2015, 07:44	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du mal die Rechnung der Polynomdivison posten. Da muss ein Fehler sein. Ich komme auf ein anderes Ergebnis.
07.02.2015, 08:35	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung Zuerst solltest Du mal das Zählerpolynom auf Nullstellen untersuchen, denn möglicherweise lässt sich der Term ja noch etwas vereinfachen...
07.02.2015, 08:51	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, jetzt sehe ich, was du gemeint hast. Du hast anscheinend den Zähler durch (x-1) geteilt. Das kann man hier machen, weil dieser Faktor auch im Nenner auftaucht. Du musst diesen Faktor dann auch in Nenner streichen. Jetzt musst du aber trotzdem noch eine Polynomdivision durchführen, bevor du mit der PBZ anfangen kannst.
07.02.2015, 11:44	Skorab	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso. Kann ich denn keine Polynomdivision durchführen, wenn der Nenner disese Nullstelle nicht besitzt? Dann würden sich ja immer Nullstellen aus dem Nenner kürzen? Nun gut wenn ich den Nenner auch durch (x-1) kürze wie in meiner Polynomdivision, dann habe ich nur eine Nullstelle bei wurzel 3 -1 . Das ist ja eklig für Horner Schema/ Polynomdivision
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07.02.2015, 11:48	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
doch, du kannst eine Polynomdivision durchführen; du musst es hier sogar, weil der Zähler und Nennergrad gleich sind. Du musst den Zähler durch den Nenner dividieren. Nach dem Kürzen von (x-1), also: (x²+2x-2) : (x²-x) Mache das mal, dann schauen wir weiter.
07.02.2015, 12:14	Skorab	Auf diesen Beitrag antworten »
ok jetzt habe ich mit der Polynomdivision folgendes bekommen: 1+ $\begin{eqnarray} \frac{3x+2}{x^{2}-x} \end{eqnarray}$ Also hat diese Funktion die Form von Cx+D ?
07.02.2015, 12:29	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme auf $\begin{eqnarray} 1+\frac{3x-2}{x^{2}-x} \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du den Ansatz für die PBZ machen. Denke dran, dass der Nenner nur noch aus x und x-1 besteht.
07.02.2015, 13:34	Skorab	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok! Habs geschafft! $\begin{eqnarray} \frac{A1}{x-1} + \frac{A2}{x} \end{eqnarray}$ A1+A2=3 A1=1 -A2=-2 -> A2=2 $\begin{eqnarray} =\int_a^b \! f(\frac{1}{x-1} ) \, dx + \int_a^b \! f(1) \, dx + 2 \int_a^b \! f(\frac{1}{x} ) \, dx <br /> \end{eqnarray}$ =x+ ln\|x-1\|+2ln\|x\| In der Lösung steht kein C am Ende. Kann das richtig sein? Eigentlich sind bei unbestimmten Stammfunktionen doch immer unendlich viele Möglichkeiten?
07.02.2015, 13:37	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
das stimmt bis auf 2 Kleinigkeiten: 1) du hast die Integrationskonstante vergessen 2) dir ist beim letzen Integral die 2 verloren gegangen Edit: die 2 ist wieder da Ja, es gibt unendlich viele Stammfunktionen, daher die Int.konstante Edit2: nur was formales - ich vermute es ist dem Formeleditor geschuldet: das "f" gehört natürlich nicht in das Integral
07.02.2015, 16:16	Skorab	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja super danke dir. Das f(x) habe ich wohl vergessen rauszunehmen und das c habe ich jetzt in meinen Aufzeichnungen ergänzt

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