Ungleichung mit 2 Varbiablen beweisen

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07.02.2015, 00:34	Styudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit 2 Varbiablen beweisen Habe die folgende Aufgabe einer Altklausur vor mir liegen: Zeige: Für alle x,y reellen Zahlen gilt: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{3+\cos(x)}-\sqrt{3+\cos(y)}\| \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}\|x-y\| \end{eqnarray}$ Habe zunächst die linke Gleichung umgeformt bis ich $\begin{eqnarray} (\|\cos{x}\|+\|\cos{y}\|)\frac{1}{\|\sqrt{3+\cos{x}}+\sqrt{3+\cos{y}} \|} \end{eqnarray}$ stehen hatte. Hab anschließend die Dreiecksungleichung angewandt... das ganze führte allerdings zu keinem Ziel. Schließlich muss ich ja den Kosinus irgendwie mit dem x bzw dem y abschätzen. Wäre nicht schlecht, wenn mir da jemand einen Denkanstoß geben würde Gruß
07.02.2015, 00:43	erlaubt	Auf diesen Beitrag antworten »
hinweis nutze den Mittelwertsatz
07.02.2015, 13:44	Styudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, habe damit in den Übungen noch keine Ungleichungen bewiesen Nun gut, ist ja auch eine Aufgabe eines anderen Profs. Ich wähle: $\begin{eqnarray} f(t)=\sqrt{3+cos(t)} \end{eqnarray}$ Habe im Anschluss den Term $\begin{eqnarray} \|\sqrt{3+\cos{x}}-\sqrt{3+\cos{y}}\|=f'(\xi)\|x-y\| \end{eqnarray}$ . Stehe nun wieder planlos da Ich kann mir vorstellen, dass $\begin{eqnarray} f'(\xi) \end{eqnarray}$ irgendwie nach $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ abgeschätzt werden sollte. Weiter weiß ich allerdings leider nicht.
07.02.2015, 13:56	/:	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es wenn du die Ableitung allgemein bestimmst ?? Und dann sehen wir weiter mit der Abschätzung
07.02.2015, 14:20	Styudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} f'(t)=-\frac{\sin{t}}{\sqrt{3+\cos{t}}} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \|\sqrt{3+\cos{x}}-\sqrt{3+\cos{y}}\|=-\frac{\sin{\xi}}{\sqrt{3+\cos{\xi}}}\|x-y\| \end{eqnarray*}$ .
07.02.2015, 14:42	/:	Auf diesen Beitrag antworten »
kleine Korrektur $\begin{eqnarray} \|\sqrt{3+\cos{x}}-\sqrt{3+\cos{y}}\|=\|-\frac{\sin{\xi}}{\sqrt{3+\cos{\xi}}}\|\|x-y\| \end{eqnarray}$ . und dann abschätzen von $\begin{eqnarray} \|-\frac{\sin{\xi}}{\sqrt{3+\cos{\xi}}}\| \end{eqnarray*}$ tipp: achte auf den zähler und nenner und näturlich das du sin und cos vorliegen hast
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07.02.2015, 14:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung bedarf auch noch einer Korrektur.
07.02.2015, 15:13	Styudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe hier nun Folgendes "angestellt": $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\|\frac{\sin{xi}}{\sqrt{3+\cos{\xi}}}\|\|x-y\|\leq \frac{1}{2}\|\frac{1}{\sqrt{3}}\|\|x-y\| \end{eqnarray}$ Habe dabei für die Funktion im Zähler den größtmöglichen Wert genommen. Dieser ist bei $\begin{eqnarray} \xi=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ (bzw. Vielfache davon wegen der Periodizität...). Habe somit diese $\begin{eqnarray} \xi=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ eingesetzt und von da an abgeschätzt. Von da an ist die Abschätzung ja trivial. Ich frage mich allerdings, ob mein Vorgehen da richtig war
07.02.2015, 15:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinweis: Der worst-case im Nenner ist NICHT $\begin{align} \cos\xi=0 \end{align}$ , sondern $\begin{align} \cos\xi=-1 \end{align}$ !!!
07.02.2015, 15:59	Styudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, stimmt. Muss für den Sinus ja nicht direkt 0 einsetzen, kann ja erstmal abschätzen. Habe dann Folgendes anzubieten: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\|\frac{\sin{\xi}}{\sqrt{3+\cos{\xi}}}\|\|x-y\|\leq \end{eqnarray}$ Der Nenner wird nämlich am kleinsten, wenn der cos den kleinsten Wert (-1) erreicht. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\|\frac{\sin{\xi}}{\sqrt{2}}\|\|x-y\|=\|\sin{\xi}\|\frac{1}{2\sqrt{2}}\|x-y\|\leq <br /> <br /> \end{eqnarray}$ (da $\begin{eqnarray} \|\sin{\xi}\| \end{eqnarray}$ stets im Intervall [0,1] ist) $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\sqrt{2}}\|x-y\| \end{eqnarray}$ Nun sauberer?

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