Fouriertransformierte

07.02.2015, 09:22	LucasS.	Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformierte Guten Morgen, Ich habe eine Frage vor mir liegen, deren Antwort ich kenne, aber leider nicht nachvollziehen kann. Die Frage ist folgende: Ist die nachfolgende Behauptung richtig? Ist $\begin{eqnarray} f(x)=e^{\frac{-x^2}{2}} \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} \hat{f}(\zeta)=e^{\frac{-\zeta^2}{2}} \end{eqnarray}$ (wobeil $\begin{eqnarray} \hat{f}(\zeta) \end{eqnarray}$ die Fourriertransformierte von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ist.) Ich hätte gedacht, dass diese Aussage falsch ist. Die allgemeine Formel zur Berechnung der Fourriertransformierten ist ja $\begin{eqnarray} \hat{f}(\zeta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb R \! f(x)e^{-i<x,\zeta>} \, dx \end{eqnarray}$ Es muss also auf jeden Fall ein Vorfaktor mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$ vor der Fourriertransformierten stehen, der in der Behauptung nicht vorkommt. Laut Musterlösung ist die Behauptung aber richtig. Kann mir das jemand erklären? LG Lucas
08.02.2015, 10:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourriertransformierte Die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist aber "in der Lage, ihr eigenes $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ zu erzeugen", welches sich mit $\begin{eqnarray} \sqrt{2\pi} \end{eqnarray}$ herauskürzen kann. Es ist nämlich $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-\frac{x^2}2}\dx=\sqrt{2\pi}\,. \end{eqnarray}$ Der schönste Beweis der Behauptung ergibt sich aus der eindeutigen Lösbarkeit von Differentialgleichungen. Und zwar erfüllt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die DGL $\begin{eqnarray} f'+xf=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=1 \end{eqnarray}$ . Nun zeigt man schnell (mit ein paar Eigenschaften der Fourier-Trafo), dass $\begin{eqnarray} \hat f \end{eqnarray}$ dieselbe DGL mit demselben Anfangswert erfüllt.

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