Komplexe Gleichung 6. Grades

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07.02.2015, 14:03	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Gleichung 6. Grades Finden Sie alle sechs komplexen Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} z^6 + (1 - 3i)z³ - 2 - 2i = 0 \end{eqnarray}$ Wie fängt man da am besten an? Edit: Ich hab jetzt substituiert und quadr. ergänzt und bin nun bei folgendem Ausdruck: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}i = \left(u + \left(\frac{1 - 3i}{2}\right)\right)² \end{eqnarray}$
07.02.2015, 15:05	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Gleichung 6. Grades Das sieht doch schon gut aus
07.02.2015, 15:45	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie geht es nun weiter?
07.02.2015, 16:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelziehen von komplexen Zahlen ... das hattest du doch erst kürzlich.
07.02.2015, 16:12	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Versteh ich wieder nicht... in den "Tipps" vom Dozent steht "Einführen von w = x + iy" Und in der Lösung, aus der ich nicht schlau werde, steht $\begin{eqnarray} w^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = \frac{1}{2}i \end{eqnarray}$ Und jetzt Koeffizientenvergleich. Aber ich weiß nichtmal was das ist und wie es geht
07.02.2015, 16:24	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann ich jetzt nur raten, was der gute Dozent im Sinn hatte. Vermutlich die Substitution $\begin{eqnarray} w=u + \frac{1 - 3i}{2} \end{eqnarray}$ In der dadurch entstandenen Gleichung dann $\begin{eqnarray} w=x+iy \end{eqnarray}$ eingesetzt und das Quadrat ausgerechnet. Natürlich weißt du, was ein Koeffizientenvergleich ist. Den hast du schon gemacht. Gemeint ist der Vergleich von Real und Imaginärteil der beiden Seiten.
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07.02.2015, 16:29	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
http://www.directupload.net/file/d/3891/3siztkhk_png.htm
07.02.2015, 16:32	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau was ich vermutete
07.02.2015, 16:37	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Magst du mir das auch erklären? "Aus der zweiten Gleichung folgt $\begin{eqnarray} 4x^2y^2 = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ .... und mit der ersten Gleichung ergbit sich $\begin{eqnarray} x^4 = \frac{1}{16} \end{eqnarray}$ " Welche zweite Gleichung? Welche erste Gleichung? Wie kommt es zu 4x^2y^2 = 1/4 ????
07.02.2015, 16:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung $\begin{eqnarray} w^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = \frac{1}{2}i \end{eqnarray}$ kannst du noch nachvollziehen? Dann vergleichst du da bitte Real- und Imaginärteil.
07.02.2015, 16:47	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das kann ich noch nachvollziehen. Realteil: $\begin{eqnarray} x^2 - y^2 = 0 --> x^2 = y^2 \end{eqnarray}$ Imaginärteil: $\begin{eqnarray} 2xy = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$
07.02.2015, 17:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Also hast du jetzt zwei Gleichungen. Die erste Gleichung lautet $\begin{eqnarray} x^2=y^2 \end{eqnarray}$ , die zweite Gleichung lautet $\begin{eqnarray} 2xy = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ .
07.02.2015, 17:10	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Wie soll nun aus der 2. Gleichung aber $\begin{eqnarray} 4x^2y^2 = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ folgen???
07.02.2015, 17:14	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
da stehen lauter Quadrate....
07.02.2015, 17:16	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dann weiß ichs auch nicht.. Danke
07.02.2015, 17:23	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
quadriere beide Seiten der zweiten Gleichung.
07.02.2015, 17:26	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum? Mit welchem Hintergrund? Macht man das nach einem Koeffizientenvergleich immer? Wie kommt dann $\begin{eqnarray} x^4 = \frac{1}{16} \end{eqnarray}$ zustande?
07.02.2015, 17:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hat die erste Gleichung, in der schon Quadrate vorkommen, und die zweite, in der das nicht der Fall ist. So kommt man auf die Idee, die zweite Gleichung zu quadrieren, um auch da Quadrate zu haben und die beiden Gleichungen miteinander zu kombinieren. Und diese Kombination der beiden Gleichungen mit quadratischen Termen liefert $\begin{eqnarray} x^4 = \frac{1}{16} \end{eqnarray}$
07.02.2015, 17:33	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie soll das gehen? $\begin{eqnarray} x^2 = y^2 = x^2y^2 = \frac{1}{16} \end{eqnarray}$
07.02.2015, 17:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies die Hilfestellung sorgfältig: "Aus der zweiten Gleichung folgt $\begin{eqnarray} 4x^2y^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x^2y^2=\frac{1}{16} \end{eqnarray}$ und mit der ersten Gleichung ergibt sich [...] Edit: Die Gleichung in deinem letzten Post kann ich nicht nachvollziehen. Das linke und das rechte Gleichheitszeichen sind ok, aber das mittlere ist falsch. Jedenfalls sehe ich nicht, warum das richtig sein sollte.
07.02.2015, 17:39	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaah Dann könnte es aber auch genau so gut $\begin{eqnarray} y^4 = \frac{1}{16} \end{eqnarray}$ heißen. Wieso nimmt man nicht diese Variante?
07.02.2015, 17:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte genauso $\begin{eqnarray} y^4=\frac{1}{16} \end{eqnarray}$ nehmen. Wenn du Lust hast, rechne es auf dem Weg.
07.02.2015, 17:49	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne ich mach es jetzt mit dem x. Ok, das haben wir nun. Wie geht es jetzt weiter?
07.02.2015, 17:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Löse die Gleichung $\begin{eqnarray} x^4 = \frac{1}{16} \end{eqnarray}$
07.02.2015, 17:53	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also die 4. Wurzel aus 1/16. Das ist dann 0,5 und -0,5. In der Lösung steht, dass man die komplexen Lösungen ignorieren muss. Warum? Wie wäre man auf diese komplexen Lösungen überhaupt gekommen?
07.02.2015, 17:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast erst kürzlich gelernt, wie man komplexe Wurzeln zieht. Steffen hat dich extra auf den workshop hingewiesen Warum nur reelle Lösungen? Überleg doch mal, woher das x überhaupt kommt.
07.02.2015, 17:59	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach man Ich versteh das einfach alles nicht
07.02.2015, 18:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast in vier Minuten meinen Post gelesen, nachgedacht(?) und geantwortet. Was soll das? Hör auf zu jammern und fang an, ernsthaft nachzudenken und zu arbeiten. Hast du überhaupt überlegt, woher das x kommt?? Wenn ja, warum hast du nicht geschrieben, was du gefunden hast? Wenn nein, warum nicht?
07.02.2015, 18:09	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuche seit 4 Stunden die Aufgabe zu lösen, habe mal wieder gar nichts geschafft heute, und weiß überhaupt nicht mehr was ich überhaupt mach und versuch zu lösen. Das x kommt von w = x + iy
07.02.2015, 18:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann lehn dich kurz zurück und lass dir die ganze Geschichte nochmal zeigen I) Zu lösen ist $\begin{eqnarray} z^6 + (1 - 3i)z³ - 2 - 2i = 0 \end{eqnarray}$ II) Die Substitution $\begin{eqnarray} z^3=u \end{eqnarray}$ führte auf die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}i = \left(u + \left(\frac{1 - 3i}{2}\right)\right)² \end{eqnarray}$ für die Unbekannte u. Diese Gleichung ist handlicher als die Ausgangsgleichung, weil nur quadratisch statt 6. Grades, aber noch immer sperrig. III) Also nochmal substituiert $\begin{eqnarray} w=u + \frac{1 - 3i}{2} \end{eqnarray}$ . Das führte auf die handliche Gleichung $\begin{eqnarray} w^2=\frac i 2 \end{eqnarray}$ für die Unbekannte w. Hier wissen wir inzwischen dass für $\begin{eqnarray} w=x+iy \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} x^4=\frac{1}{16} \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist der Realteil der komplexen Zahl $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ , kann also nur reelle Werte annehmen. Deshalb brauchen wir nur die reellen Lösungen von $\begin{eqnarray} x^4=\frac{1}{16} \end{eqnarray}$ und die sind $\begin{eqnarray} \pm \frac 1 2 \end{eqnarray}$ . Fahrplan: 1. Imaginärteil von w passend zu einem der beiden möglichen Realteile bestimmen. Damit ist w bekannt und III) gelöst 2. Mit dem bekannten w wird u bestimmt (Resubstitution), damit ist II) gelöst 3. Mit dem bekannten u wird z bestimmt, damit ist I) gelöst
07.02.2015, 18:52	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
y ist dann auch +- 1/2 Damit kann man x und y in $\begin{eqnarray} w = x + iy \end{eqnarray}$ einsetzen. $\begin{eqnarray} w_1 = \frac{1}{2} + i \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 + i}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2 = -\frac{1}{2} + i \cdot -\frac{1}{2} = -\frac{1 + i}{2} \end{eqnarray}$ Damit hat man $\begin{eqnarray} u_1 = -1 + i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_2 = 2i \end{eqnarray}$ Stimmt das so?
07.02.2015, 19:13	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} w_1,w_2 \end{eqnarray}$ sind richtig Bei $\begin{eqnarray} u_1,u_2 \end{eqnarray}$ hängt es davon ab, was du gerechnet hast. Ich bekomme $\begin{eqnarray} u_1=w_1-\frac{1-3i}{2}=\frac{1+i}{2}-\frac{1-3i}{2}=2 i \end{eqnarray}$ und entsprechend $\begin{eqnarray} u_2=-1+i \end{eqnarray}$ . Vielleicht hast du einfach nur die Indizes anders gewählt. Aber im Wesentlichen richtig
07.02.2015, 19:21	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt rücksubstituiert.. $\begin{eqnarray} u_1 = 2 \cdot \left(cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \cdot sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_2 = \sqrt{2} \cdot \left(cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \cdot sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) \end{eqnarray}$ Nun muss ich ja noch die Wurzeln ziehen. Wie gehe ich hier vor? Die Formel lautet ja: $\begin{eqnarray} \zeta_k = \sqrt[n]{\|z\|} \cdot \left(cos\left(\frac{\phi + 2\pi \cdot k}{n}\right) + i \cdot sin \left( \frac{\phi + 2\pi \cdot k}{n}\right)\right) \end{eqnarray}$ Was nehm ich da jetzt für n? 3 oder 6? Was nehm ich für den Betrag? 2 oder Wurzel 2? Und welchen Winkel nehm ich?
07.02.2015, 19:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Formel steht bestimmt nicht allein auf weiter Flur. Bestimmt steht ganz in der Nähe, wie das z aussieht und auch die Gleichung, die man auf die Art löst.
07.02.2015, 19:32	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wir hatten ja am Anfang substituiert: $\begin{eqnarray} u = z^3 \end{eqnarray}$ Somit $\begin{eqnarray} z = \sqrt[3]{u} \end{eqnarray}$ Aber was genau willst du mir damit sagen? Ist n = 3 ??
07.02.2015, 19:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte eigentlich darauf hinaus, dass bei der Formel noch etwas steht wie: Die Lösungen von $\begin{eqnarray} w^n=\|z\|(cos\phi+ i\sin\phi) \end{eqnarray}$ sind gegeben durch $\begin{eqnarray} \zeta_k = \sqrt[n]{\|z\|} \cdot \left(cos\left(\frac{\phi + 2\pi \cdot k}{n}\right) + i \cdot sin \left( \frac{\phi + 2\pi \cdot k}{n}\right)\right) \end{eqnarray}$ Dann muss man nur noch die Bezeichnungen übertragen. Hier ist $\begin{eqnarray} z^3=u_1 \end{eqnarray}$ zu lösen mit $\begin{eqnarray} u_1 = 2 \cdot \left(cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \cdot sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \end{eqnarray}$ . Aus der Formel liest man n=3 ab, das ist richtig. Kannst du jetzt auch noch Betrag und Winkel ablesen?
07.02.2015, 19:43	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne also das versteh ich schon wieder nicht http://www.directupload.net/file/d/3891/d2jhcd4o_png.htm In der Lösung steht es so drin. Warum wird da einmal 3 und einmal 6 genommen? Wie kommt der Rest zustande? Welche Winkel wurde da eingesetzt?
07.02.2015, 19:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Also noch mundgerechter werde ich es dir nicht mehr servieren: $\begin{eqnarray} w^n=\|z\|(cos\phi+ i\sin\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^3=2 \cdot \left(cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \cdot sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \end{eqnarray}$ Edit: Nein, da wird nicht einmal 3 einmal die 6 genommen. Es ist n=3.
07.02.2015, 19:52	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich weiß es echt nicht. Erschließt sich mir nicht, wo ich jetzt was einsetzen muss. Dann muss ich das jetzt hier beenden. 5 Stunden und die Aufgabe ist immer noch nicht fertig Danke für deine Geduld.
07.02.2015, 20:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann für die Nachwelt $\begin{eqnarray} w^{\textcolor{red}{n}}=\textcolor{blue}{\|z\|}(cos\textcolor{green}{\phi}+ i\sin\phi) \end{eqnarray}$ mit Lösungen $\begin{eqnarray} \zeta_k = \sqrt[n]{\|z\|} \cdot \left(cos\left(\frac{\phi + 2\pi \cdot k}{n}\right) + i \cdot sin \left( \frac{\phi + 2\pi \cdot k}{n}\right)\right) \end{eqnarray}$ ist hier $\begin{eqnarray} z^{\textcolor{red}{3}}=\textcolor{blue}{2} \cdot \left(cos\left(\textcolor{green}{\frac{\pi}{2}}\right) + i \cdot sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \end{eqnarray}$ mit Lösungen $\begin{eqnarray} \zeta_k = \sqrt[3]{2} \cdot \left(cos\left(\frac{\pi/2 + 2\pi \cdot k}{3}\right) + i \cdot sin \left( \frac{\pi/2 + 2\pi \cdot k}{3}\right)\right) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} z^3= \sqrt{2} \cdot \left(cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \cdot sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) \end{eqnarray}$ mit Lösungen $\begin{eqnarray} \zeta_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot \left(cos\left(\frac{3\pi/4 + 2\pi \cdot k}{3}\right) + i \cdot sin \left( \frac{3\pi/4 + 2\pi \cdot k}{3}\right)\right) \end{eqnarray}$

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