Funktion, Polynomdivision, Polstelle

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martinio Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion, Polynomdivision, Polstelle
Hallo ich habe ein kleine frage.

zu prüfen ist, ob die Funktion polstellen hat und stetig fortsetzbar ist.

Die lösung nimmt eine polynomdivison vor mit dem ergebnis . Frage: Kann sich jmd. vorstellen warum genau? Nutzen wir etwa die bekannten eigenschaften bzgl. konvergenzverhalten/stetig einer Parabel aus?


Danke
Eschie Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber martinio,
die Aufgabe ist ja, dass du überprüfen sollst, ob die Funktion Polstellen hat. Die einzige Nullstelle des Nenners ist ja 1 und das ist auch die Nullstelle des Zählers. Es kann also sein, dass es sich um eine hebbare Definitionslücke handelt.

Nun versuchen wir also die Funktion f(x) so umzuschreiben, dass die Definitionslücke behoben wird. Oft funktioniert kürzen, hier aber nicht. Der Bruchstrich ist aber nichts anderes als ein Divisionszeichen, also wird die Funktion durch die Polynomfunktion nur umgeschrieben. Wenn du den daraus entstandenen Term betrachtest, was ist nun mit der Definitionslücke passiert? Und wie steht das im Zusammenhang mit der stetigen Fortsetzung?
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Eschie,

danke für die antwort. durch die umformung per polynomdivision ist die definitionslücke aufgehoben, da auf ganz definiert ist: .

Für diesen "kritische" Punkt (x=1) ist rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert gleich, nämlich 2. Aus diesem Grund ist dann die urspr. Funktion stetig fortsetzbar für x=2 mit dem Wert 2.

Da der Grenzwert an der Stelle ungleich ist, handelt es sich also nicht um eine Polstelle.

Ich hab schwierigkeiten mit dem Umformen. Gibt da ein Patenrezept? Wann darf ich die Polynomdivision anwenden (hab gelesen polynomen vom grad größer 3).
Eschie Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt doch alles gut. Ich würde an deiner Stelle erst einmal versuchen den Algorithmus der Polynomdivision nachzuvollziehen, sehr viel schlimmer als die schriftliche Division ist das Ganze nicht und man findet sehr viele erklärte Beispielrechnungen dazu online. Eine gute Anlaufstelle wäre schon einmal der Rechner bei Arndt Brünner, da kannst du deine Funktion auch eingeben und du kannst dort die einzelnen Schritte nachvollziehen.

Ich denke, du meinst mit dem Grad 3 bei der Polynomdivision, dass man in der Schule die Polynomdivision bei der Nullstellenberechnung von Polynomfunktionen mit Grad 3 und höher benutzt, weil man sonst nur die pq-Formel kennt. Lös dich am besten davon, da die Polynomdivision im Grunde ja einfach nur eine Division ist, bei der man die genauen Zahlen nicht kennt und nicht nur eine starre Hilfestellung beim Bestimmen von Nullstellen. Gegenbeispiel: x²:x=x ist auch eine Polynomdivision und funktioniert sehr gut.
martinio Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich rechne noch ein paar Beispiele durch, um ein Gefühl zubekommen.

Noch eine andere Frage: Was heißt es, dass ein Grenzwert eindeutig bestimmt ist? Heißt dies, dass links- und rechtsseitiger GW übereinstimmen und ungleich sind? Also mir gehts jetzt gerade v.A. um den links- und rechtsseitiger GW.
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