Reihenfolge bei der Variablen entscheidend?

08.02.2015, 09:33	lePetit	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenfolge bei der Variablen entscheidend? Meine Frage: Guten Morgen, ich find es super, dass es Euer Board gibt. Ich habe da 2 Fragen. Es geht um eine Aufgabe eines Optimierungsproblem. 1.) Man hat eine Produktionsfunktion und eine Kostenfunktion. Man löst die Produktionsfunktion nach einer Variable auf. Setzt sie in die Kostenfunktion ab und leitet diese dann ab. Das Optimum setzt man dann in die Produktions ein und erhält die zweite Variable. Ist es entscheidend nach welcher Variable man als erstes auflöst? Ich bekomme unterschiedliche werte für r(A) und r(B) heraus. Ist die Reihenfolge bei diesem Problem entscheidend oder habe ich einen Rechenfehler gemacht? 2.) Man setzt dann die zwei Variablen ins Verhältnis. In diesem Fall hier ist es $\begin{eqnarray} \frac{x}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ im Verhältnis zu $\begin{eqnarray} \frac{x\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray}$ Ich danke Euch und freue mich auf die Antworten. Meine Ideen: zu 1.) Meine Idee ist, dass die Reihenfolge entscheidend ist, aber das würde doch die freigestellte Wahl, nach welcher Variable man als erstes auflöst ins absurde führen. Außer es gebe mehre Optima. Dann würde aber die Wahlfreiheit in der Lösung der Aufgabe mich sehr stark verwirren. zu 2.) 2:1 heißt das Ergebnis, aber ich verstehe es nicht so richtig. Was heißt denn 2:1 ? Das 2mal das eine das andere ergibt? Oder das man das ganze als 100% sieht und dann hat man 2/3 von dem einen und 1/3 von dem anderen. Ich sehe es aber nicht aus der Formel heraus. Ist mein Ansatz richtig?
08.02.2015, 11:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1.) Das kann man nur beantworten, wenn man das Problem kennt. zu 2.) $\begin{eqnarray} \frac x {\sqrt 2}=\frac {x \sqrt 2} {\sqrt 2\sqrt 2}=\frac {x \sqrt 2} 2 \end{eqnarray}$ , also gilt : 2 mal das rechte ergibt das linke.
08.02.2015, 12:12	calyton	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Elvis, für die schnelle Antwort. zu 2.) das ist doch einmal eine Erweiterung um Wurzel 2. Das leuchtet mir ein, aber ist nicht $\begin{eqnarray} 2\frac{x\sqrt{2}}{2} = x\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Wie sieht man sowas aus der Formel heraus, oder wie kann man das berechnen? Durcheinander dividieren bringt mich nicht weiter. zu 1.) Prod.fkt.: $\begin{eqnarray} x=2\sqrt{r_{a} r_{b} } \end{eqnarray}$ Kostenfunktion: $\begin{eqnarray} K(r_{a}, r_{b})= p_{a} r_{a} + p_{b}r_{b} = 1r_{a} + 2r_{b} \end{eqnarray}$ Wenn ich die Prod.fkt. nach $\begin{eqnarray} r_{b} \end{eqnarray}$ auflöse, erhalte ich $\begin{eqnarray} r_{b} = \frac{x^{2} }{4r_{a} } \end{eqnarray}$ . Wenn ich das in die Kostenfunktion einsetze und nach $\begin{eqnarray} r_{a} \end{eqnarray}$ ableite erhalte ich $\begin{eqnarray} r_{a} = \frac{x}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ . In $\begin{eqnarray} r_{b} \end{eqnarray}$ eingesetzt erhalte ich den Wert, wie ich "2.)" oben angegeben: $\begin{eqnarray} r_{b} = \frac{x\sqrt{2} }{4} \end{eqnarray}$ . SO. Wenn ich aber am Anfang die Prod.fkt. nach $\begin{eqnarray} r_{a} \end{eqnarray}$ auflöse und in die Kostenfunktion einsetze und das dann nach $\begin{eqnarray} r_{b} \end{eqnarray}$ ableite, komme ich auf den Wert $\begin{eqnarray} r_{b} = \frac{x}{\sqrt{8} } \end{eqnarray}$ . Dies nun in $\begin{eqnarray} r_{a} \end{eqnarray}$ eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray} r_{b} = \frac{x\sqrt{2} }{2} \end{eqnarray*}$ . Und das sind unterschiedliche Ergebnisse, je nach dem, was nach was ich die Prod.fkt zuerst auflöse. Ist das also doch entscheidend, nach welcher Variable man auflöst?
08.02.2015, 12:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 2: 2 mal das rechte ist das linke. $\begin{eqnarray} 2\frac {x \sqrt 2} 4= \frac {x \sqrt 2}2 \end{eqnarray}$ , die 2 im Zähler wird gegen die 4 im Nenner gekürzt. zu 1: da muss ich noch ein bißchen nachdenken ... ich verstehe es nicht. Was genau machst du und warum ?
08.02.2015, 13:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich sehe da keinen Unterschied. Auf dem ersten Weg erhältst du $\begin{eqnarray} r_{a} = \frac{x}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ und daraus $\begin{eqnarray} r_{b} = \frac{x\sqrt{2} }{4} = \frac{x\sqrt{2} }{\sqrt{16}}= \frac{x}{\sqrt{8}} \end{eqnarray}$ . Auf dem zweiten Weg erhältst du $\begin{eqnarray} r_{b} = \frac{x}{\sqrt{8} } \end{eqnarray}$ und daraus $\begin{eqnarray} r_{a} = \frac{x\sqrt{2} }{2} = \frac{x}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$
08.02.2015, 14:37	calyton	Auf diesen Beitrag antworten »
@ elvis: zu 2.) Ich hab mich verlesen. "2mal das rechte, nicht das linke" ok, dann macht es Sinn. Ich weiß dann aber immer noch nicht so recht, wie man das 'sehen' kann. Also wie kommt man auf ein Verhältnis zueinander. Gibt es da einen Trick/Idee? Vorallem bei dieser Komplexität. zu 1.) Es geht hierbei um die Berrechnung des perfekten Mischverhältnis von $\begin{eqnarray} r_{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_{a} \end{eqnarray}$ . Man setzt Produktion und Kosten gleich und sucht dann nach dem Optimum. Was mich nur verwirrt hatte war die Umformung von solchen Quotienten mit Wurzeln. Irgendwie 'sehe'ich das oft nicht. Brauchst Du noch nähere Infos 'elvis'? @URL: JETZT sehe ich den Unterschied auch nicht. Danke für die Ausformulierung und die Mühe! Ich danke Euch so sehr für die Hilfe in diesem Fall,ihr habt mir den Tag versüßt!
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08.02.2015, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe den Zusammenhang sofort, weil durch lange Übung $\begin{eqnarray} \frac 1 {\sqrt 2}=\frac {\sqrt 2}2 \end{eqnarray}$ tief im Unterbewußtsein verankert ist und deshalb beim Auftreten von Wurzeln alle "Alarmlämpchen leuchten". Das sitzt genau so tief drin wie z.B. die Division komplexer Zahlen als Multiplikation $\begin{eqnarray} \frac {a+bi}{c+di}=\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac {(ac-bd)+i(ad+bc)}{c^2+d^2} \end{eqnarray}$ . Im Lauf der Jahre erwirbt man immer mehr "Standardtricks", mit denen man wie selbstverständlich umgeht. Gelegentlich schleichen sich dann auch die Vokabeln "offensichtlich", "offenbar" und das vielgeliebte "trivial" in die Sprache ein.

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