Produktionsplanungsproblem

08.02.2015, 16:20	LilacAngel	Auf diesen Beitrag antworten »
Produktionsplanungsproblem Hallo, folgende Aufgabe zur Produktionsplanung wurde uns gegeben: Der AStA der Universität Entenhausen verkauft jeden Sommer zwei sehr beliebte Alltagsgegenstände: Eine Hängematte für 15 Euro und einen Sonnenschirm für 8 Euro. Im Einkauf kostet eine Hängematte 10 Euro und ein Sonnenschirm 4 Euro. Aus Erfahrung weiß der AStA, dass er in den Sommermonaten maximal 7000 Hängematten und maximal 4000 Sonnenschirme verkaufen kann. Das Lager, in dem am Anfang alle Verkaufsgegenstände untergebracht werden, hat aber nur Platz für 8000 Stück (der Platzbedarf für eine Hängematte entspricht etwa dem von einem Sonnenschirm). Ein Dozent bietet den Studenten noch eine kleine Abstellkammer (Platz für maximal 2000 Gegenstände) an, er verlangt aber für jeden gelagerten Gegenstand 1 Euro Aufwandsentschädigung. Stellen Sie das zugehörige LP auf, wenn der AStA den Gewinn maximieren will. Als eine von drei möglichen Lösungen erhielten wir folgendes: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> x_{1} = Anzahl\; der\; Haengematten<br /> <br /> x_{2} = Anzahl\; der\; Sonnenschirme<br /> <br /> max\;\;\; 5x_{1} + 4x_{2} - (x_{1} + x_{2} - 8000)<br /> <br /> x_{1} \leq 7000<br /> x_{2} \leq 4000<br /> x_{1} + x_{2} \leq 10000<br /> x_{1} + x_{2} \leq 8000<br /> <br /> x_{1} , x_{2} \geq 0 <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Leider verstehe ich die Lösung teilweise nicht. Z.B. verstehe ich nicht, weswegen wir -8000 in die Klammer der Zielfunktion schreiben. $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ in der Zielfunktion sind mir klar, denn pro Hängematte und pro Sonnenschirm wird durch den Dozenten ja 1 Euro verlangt, welche unsere Kosten dafür darstellen. Lösen wir die Klammer auf, steht da ja im Grunde +8000. Kommt dies daher, dass wir, würden wir die 8000 weglassen, quasi für jeden gelagerten Gegenstand, d.h. auch für die ersten 8000, zahlen müssten? Und da wir für diese ja nicht zahlen brauchen, addieren wir sie? Aber warum addieren wir dann 8000 zu unserem Gewinn, das sind doch eigentlich nur eingesparte Kosten. Zudem: Wir haben in den Nebenbedingungen ja aufgenommen, dass die Menge der Sonnenschirme und der Hängematten kleiner oder gleich 8000 sein muss, da nicht mehr in das Lager passt. Warum haben wir dann nicht auch noch eine Nebenbedingung mit Menge der Sonnenschirme plus Menge der Hängematten kleiner oder gleich 2000 aufgenommen, d.h. dass in die angebotene Abstellkammer nur Gegenstände kleiner oder gleich 2000 passen? Vielen Dank schonmal!
09.02.2015, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Nebenbedingung $\begin{eqnarray} x_1+x_2\le 8000 \end{eqnarray}$ ist falsch, denn sie verschärft die Nebenbedingung $\begin{eqnarray} x_1+x_2\le 10000 \end{eqnarray}$ . Der Trick, die Kosten der dozentischen Abstellkammer $\begin{eqnarray} (x_1+x_2-8000) \end{eqnarray}$ in die Zielfunktion aufzunehmen ist gut und richtig. Die Zielfunktion schreibt sich dann $\begin{eqnarray} max \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x_1+3x_2+8000 \end{eqnarray}$ , weil eine Variable in einer Zielfunktion oder Nebenbedingung nur einmal auftreten kann.

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