2 Kreise, eine Sehne

08.02.2015, 16:34

NeedHelp99

2 Kreise, eine Sehne

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Ich habe 2 Kreise, mit Radien 9,8 und 6,5 und eine gemeinsame Sehne, die 9 ist.
Ich soll den Schnittwinkel dieser Kreise berechnen.
PS: Der Schnittwinkel wie wie folgt definiert - nach unserem Mathebuch: "Der Schnittwinkel zweier Kreise ist gleich dem Schnittwinkel ihrer Tangenten im Schnittpunkt."
Meine Lösung widerspricht der des Mathebuches, es sagt 71,2° und/oder 16,5° sind richtig; weshalb ist meine Lösung falsch?
(Mein Löungsweg bezieht sich auf das Bild)

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} p=q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{BO}=\sqrt{\overline{BC}^{\text{ }2}-\overline{CO}^{\text{ }2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{AO}=\sqrt{\overline{AC}^{\text{ }2}-\overline{CO}^{\text{ }2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{AB}=\overline{AO}+\overline{BO} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{AS}=9.8-6.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q=p =2*\arcsin(\frac{\overline{AS}}{\overline{AB}} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p=\text{ungefähr }28.5219\textdegree \end{eqnarray*}$

08.02.2015, 16:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von NeedHelp99
$\begin{eqnarray*} q=p =2*\arcsin(\frac{\overline{AS}}{\overline{AB}} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p=\text{ungefähr }28.5219\textdegree \end{eqnarray*}$

Verstehe nicht, was das mit dem gesuchten Winkel zu tun haben soll. unglücklich

Der gesuchte Winkel entspricht dem Winkel zwischen den zugehörigen Radiusvektoren beider Kreise (genauer gesagt: den zugehörigen Geraden) im gemeinsamen Tangentenpunkt C.

Über $\begin{align*} \arccos\left( \frac{|CO|}{|CA|} \right) \pm \arccos\left( \frac{|CO|}{|CB|} \right) \end{align*}$ kommt man an diese beiden Winkel, wobei bei "+" hier ein Winkel größer als 90° herauskommt, weswegen man dessen Nebenwinkel (d.h. 180°-...) als Lösung angibt.

08.02.2015, 16:55

Bürgi

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RE: 2 Kreise, eine Sehne
Guten Tag,

ich sehe leider kein Bild.

Nehmen wir meins:

[attach]37166[/attach]

In den beiden rechtwinkligen Dreiecken kannst Du alle Winkel berechnen (mit cos-Funktion).

Die Tangenten stehen in den Berührpunkten senkrecht auf den Radien. (Radiusfarbe und Tangentenfarbe sind gleich)

EDIT: ... zu spät + und weg Wink

08.02.2015, 17:21

NeedHelp99

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RE: 2 Kreise, eine Sehne

Zitat:

Original von Bürgi
Guten Tag,

ich sehe leider kein Bild.

Dieses Bild
[attach]37169[/attach]
PS: Was ist nochmals genau der Schnittwinkel zweier Kreise, möglicherweise habe ich das falsch interpretiert

08.02.2015, 17:32

HAL 9000

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Das hast du doch selber genannt - schon wieder vergessen?

Zitat:

Original von NeedHelp99
PS: Der Schnittwinkel wie wie folgt definiert - nach unserem Mathebuch: "Der Schnittwinkel zweier Kreise ist gleich dem Schnittwinkel ihrer Tangenten im Schnittpunkt."

Da die zugehörigen Radiusvektoren beide jeweils um 90° zu diesen Tangenten versetzt sind, gilt dann eben auch das von mir oben gesagte

Zitat:

Original von HAL 9000
Der gesuchte Winkel entspricht dem Winkel zwischen den zugehörigen Radiusvektoren beider Kreise (genauer gesagt: den zugehörigen Geraden) im gemeinsamen Tangentenpunkt C.

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