Standardnormalverteilung, Verschiebung von Sigma bzw. "Standardisieren"

08.02.2015, 22:15

marin_zi

Standardnormalverteilung, Verschiebung von Sigma bzw. "Standardisieren"

In einem Werk werden serienmäßig Gewindeschrauben herhgestellt, deren Durchmesser eine normlverteilte Zufallsvariabe X mit dem Mittelwert 10 mm und einer
Standartabweichung 0,2 mm sei. Toleriert werden dabei noch Abweichungen vom Solldurchmesser bis zu maximal 0,3 mm. Welcher Anteil an Ausschusware ist zu erwarten.

Ich hab die Lösung vom Beispiel bzw weiß von anderen wie es gerechnet wird. Aber eine Schritt verstehe ich nicht den mache ich "auswendig" verwirrt

. Der hintergedanke ist ja jetzt der das auf die Standardnormaverteilung "zurückzuführen" damit man mit der $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ Tabelle arbeiten kann.

Den ersten Schritt .. Ich sag das mal so das substituieren das kann ich noch einigermaßen nachvollziehen. $\begin{eqnarray*} \phi(u) = \phi(\frac{X - y}{\sigma}) \end{eqnarray*}$ aber wieso durch $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ? Jetzt ist y direkt auf der Achse. (Sorry ich weiß nicht wie man das "my" schreibt).

Aber die Sache mit dem „verschieben“ von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ da verstehe ich nichts mehr.
Also die Abweichung 0,3 muss ich noch in die Standardteinheit umrechnen das ist ein k-faches von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} 0,3 = \sigma \cdot k \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} k = \frac{0,3}{0,2} = 1,5 \end{eqnarray*}$
Und ab damit in die Tabelle ...

Was mache ich da ??? verwirrt

Ich hab zwar 3 Seiten Erklärung und kann mir Vorstellen wie ich das im Diagramm verschiebe aber so richtig verstehen tue ich das nicht. Ich kanns halt bloß in die "Formeln" einsetzten.
Kann mir da jemand helfen ?

Grüße

09.02.2015, 08:55

Steffen Bühler

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RE: Standardnormaverteilung verschiebung von Sigma bzw "Standarisieren"

Zitat:

Original von marin_zi
Was mache ich da ?

Du normierst Deine Werte auf die Standardnormalverteilung, damit Du die Tabelle benutzen kannst. Da stehen ja die Werte nach der Formel

$\begin{align*} \Phi_{0;1}(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac 12 t^2} \mathrm dt \end{align*}$

Das ist aber nur der Sonderfall der allgemeinen Formel

$\begin{align*} F(x) = \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac 12 \left( \frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt \end{align*}$

mit $\begin{align*} \mu=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} \sigma=1 \end{align*}$ .

Wenn Du ein anderes $\begin{align*} \mu \end{align*}$ und $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ hast, musst Du eben erst umrechnen.

Viele Grüße
Steffen

09.02.2015, 10:46

marin_zi

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Hallo

Ja soweit war mir schon klar. Den Schritt verstehe ich nicht.
$\begin{eqnarray*} 0,3 = \sigma \cdot k \end{eqnarray*}$

Was hat den die gesucht Abweichung 0,3 aus der Frage mit dem Wert $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ zu tun ?

$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ beschreibt doch bloß die Schmale/Höhe der Kurve ? Zumindest sehe ich noch keinen Zusammenhang.

09.02.2015, 11:00

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von marin_zi
Was hat den die gesucht Abweichung 0,3 aus der Frage mit dem Wert $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ zu tun ?

Wie Du vorher schon geschrieben hast:

Zitat:

Also die Abweichung 0,3 muss ich noch in die Standardteinheit umrechnen das ist ein k-faches von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$

Somit weißt Du, dass Du in der Tabelle bei 1,5 nachschauen musst, um die Wahrscheinlichkeit zu bekommen, dass ein Wert kleiner ist als 10+0,3.

09.02.2015, 11:21

marin_zi

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Hi

Ja aber genau das verstehe ich ja nicht Big Laugh

Wieso sollte die Abweichung 0,3 aus der Angabe etwas mit dem Sigma zu tun haben bzw hat es ?
Und warum ist es ein k-faches von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ?

Ich mach es ja "nur" weil es in allen Beispielen so gemacht wird.
Mir geht das irgendwie zu schnell. Muss ich nicht erstmal $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ selbst "nomieren" ?
Nö das verwirrt mich total.

Gruß

09.02.2015, 11:29

marin_zi

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Ah ich habs. Man macht es ja.

Der Faktor ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0,2} \end{eqnarray*}$ wennman zuerst Sigma nomiert und dann mit dem Faktor die 0,3 umrechnet. $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ nomiert ist ja 1.

Und dann halt gleich in einem Schritt. Danke für die Denkanregung smile

.

Grüße

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