Kurvendiskussion

09.02.2015, 11:40

martinio

Kurvendiskussion

Durchzuführen ist eine Kurvendiskussion für die Funktion f

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{| x-1 | }{x^2}= \begin{cases} \frac{-x+1}{x^29} & \text{für } x < 1 \\ \frac{x-1}{x^2} & \text{für } x \geq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich habe eine Frage zur Differenzierbarkeit. Die Lösung sagt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \begin{cases} \frac{x-2}{x^3} & \text{für } x \in (\infty,0)\cup (0,1)\\ \frac{-x+2}{x^3} & \text{für } x \in (1,\infty) \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Ich versteh hier nicht, warum es sich beim zweiten Fall nicht um ein halb-offenes Intervall handelt, sprich :

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \begin{cases} \frac{x-2}{x^3} & \text{für } x \in (\infty,0)\cup (0,1)\\ \frac{-x+2}{x^3} & \text{für } x \in [ 1,\infty) \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Liegt das an dem nicht eindeutigen Grenzwert für den Punkt 1?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^{+}} = -1 \neq \lim_{x \to 1^{-}} = 1 \end{eqnarray*}$

Ferner liegt im Punkt 1 ein lokales Minimum vor. Warum? Unser Prof. meinte, dass wir die bei der Bestimmung von Extremwerten nicht nur die notwendige Bedignung für ein lok. Extremum prüfen müssen (f'(x)=0) , sondern auch die Ränder und die Punkte, in denen die Funktion nicht diffbar ist. Auch hier frage ich mich warum genau?

09.02.2015, 11:51

sixty-four

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RE: Kurvendiskussion

Zitat:

Original von martinio

Ich versteh hier nicht, warum es sich beim zweiten Fall nicht um ein halb-offenes Intervall handelt, sprich :

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \begin{cases} \frac{x-2}{x^3} & \text{für } x \in (\infty,0)\cup (0,1)\\ \frac{-x+2}{x^3} & \text{für } x \in [ 1,\infty) \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Liegt das an dem nicht eindeutigen Grenzwert für den Punkt 1?

Genau, daran liegt es. Die Funktion ist im Punkt x=1 nicht differenzierbar, da links- und rechtsseitiger Grenzwert sich unterscheiden.

09.02.2015, 12:07

martinio

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RE: Kurvendiskussion
Danke ! Freude

Hast du hier auch eine Antwort drauf?

Zitat:

Original von martinio
Ferner liegt im Punkt 1 ein lokales Minimum vor. Warum? Unser Prof. meinte, dass wir die bei der Bestimmung von Extremwerten nicht nur die notwendige Bedignung für ein lok. Extremum prüfen müssen (f'(x)=0) , sondern auch die Ränder und die Punkte, in denen die Funktion nicht diffbar ist. Auch hier frage ich mich warum genau?

09.02.2015, 12:26

sixty-four

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RE: Kurvendiskussion
Habe ich auch. Lokales Minimum in x=1 bedeutet doch, dass der Funktionswert in einer (hinreichend kleinen) Umgebung des Punktes x=1 größer ist, als im Punkt x=1 selbst. Wenn die Funktion in x=1 differenzierbar ist, ist dafür notwendig, dass f'(x)=0 ist. Da f'(1) aber nicht existiert, kann diese Bedingung auch nicht zutreffen. Dennoch hat die Funktion dort ein lokales Minimum. Da

f(1)=0 ist und $\begin{eqnarray*} f(1\pm\epsilon) >0 \end{eqnarray*}$

Das kannst du dir auch anhand der Funktion y=|x| klarmachen. Die ist in x=0 nicht differenzierbar, hat dort aber ein lokales Minimum.

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